Donnons quelques exemples de systèmes coniplets

(') Ce théorème paraît avoir été établi pour la première fois par M. Enriques (Mémoire cité de la Société italienne des XL), mais sa démonstration est assez compliquée. L'emploi du lemme du n" 12 rend au contraire le théorème pour ainsi dire intuitif.

DES SVSTliMES M.MÎAIRES DK COURBES SLU LES SLUKACES. lo3

Toutes les surfaces adjointes ou soiis-adjoinles dim iiicaie ordre déterminent un système com[)let de courbes.

On obtient encore un système complet en assujettissant ces surfaces à passer |)ar des points ou des courbes assignés à l'avance sui-Zavec un comportement donné, et en rcliancliant ensuite les courbes fixes des courbes du système.

Une courbe C, avec points-bases et comportements donnés, suffit pour déterminer un svslème complet.

Pour le construire, on fera passer par cette courbe une adjointe 4> d'ordre v. Soit F la courbe résiduelle. Toutes les adjointes <I> d'ordre v passant par F et ayant aux points-!)ases donnés, avec la surface /, le comportement donné, détermineront le système.

Un faisceau irréductible (/^ =^ »), /• = i) est toujours normal.

Sur une surface générale d'ordre donné, les sections planes déterminent un système complet; et il en est de même sur une surface qui n'a pas de lignes multiples.

D'une manière plus générale, si une surface est telle que, sur une section plane arbitraire, les tlroites du plan déterminent sur la courbe une série g'j,^ complète, les sections planes de la surface (ormeronl un système complet.

Considérons en effet une section plane arbitraire C. JNous devons faire passer |)ar C une adjointe. l*reuons, jiar exemple, une adjointe d'ordre v -f- i formée |)ar le plan P de (] et une adjointe arbitraire d'ordre v qui cou[)e la surface / suivant une courbe F, en debors des lignes multiples. Il nous faut euMsager toutes les adjointes d'ordre v -h i passant j)ar F : elles coupent toute section plane en m points variables, m étant l'ordre de/', et ces points doivent être en ligne droite, car autrement ces groupes de m points formeraient une série linéaire contenant la série i,';,, déterminée par les droites du plan, qui alors ne serait pas complète.

De là, on conclut que la courbe "' d'intersection des adjointes précédentes d'ordre v + i avec la surface / est nécessairement d'ordre m et qu'elle est telle qu'un plan quelconque la rencontre en m points en ligne droite. La courbe y est donc plane et la proposition est démontrée.

Comme exemple de surfaces à sections planes formant un système incomplet, citons la surface réglée du troisième ordre, laquelle admet une droite double.

J7. Soit encore, sur une surface, un système complet, simple, (le dimension /■ et de degré n, défini par

auLo-i-. . .— a,.L;. = o.

Nous avons vu qu'on peut faire correspondre à la surface y dans l'espace à /• dimensions une surface y définie par

J"! = 7-' • ••' ■Vr= -JT-

Celte surface est d'ordre n, et elle est normale^ en ce sens qu'elle ne peut être la perspective d'une surface du même ordre située dans un espace à un plus grand nombre de dimensions.

Une surface normale intéressante du quatrième degré dans l'espace à cinq dimensions est la surface de Véronèse, définie par les équations

oîi les L représentent six polynômes du second degré en a et |j. Celle surface correspond au système linéaire de toutes les coniques du plan.