III. — De l'addition des systèmes complets

18. Définissons ce qu'on entend par système normal somme de deux systèmes donnés, en supposant toujours que ces deux systèmes soient iri-éductibles.

Soient deux systèmes | Cj | et [Co] irréductibles et complets définis respectivement par les deux systèmes de surfaces

aoPo-^ 3Ci Pj -r-. . .-I- a,.?,. = o,

poQo-?iQi + -.--i-p,.'Q,.'=o.

Le système

définit un système irréductible qui contient totalement toutes les courbes composées C, -f- Co, mais qui peut ne pas être complet. Envisageons alors le système complet | C | défini par une courbe

DES SYSTEMES LINEAIRES DE COURBES SIR LES SURFACES. lOD

i C ' = I G,^Col.

Il est complètement déterminé par une courbe C, et par une courbe Co et, en plus, parles points bases des deux systèmes et le comportement spécifié en ces points.

J9. On définit de même un svstème somme de plusieurs systèmes donnés. Soient | C| |, | Co |, | C3 1 trois systèmes. Leur somme sera désignée par le symbole

! G I = ; C- Co-f-C;,!,

et il résulte de la définition même qu'on peut, pour la former, effectuer d'abord la somme de | C| | et de | Co | et ajouter i C3 1, qu'on peut intervertir l'ordre des opérations, et remplacer un des systèmes par la somme des systèmes qui peuvent le composer.

Un système double dun autre jC[, qu'on désigne par la notation I 2 C [ est le système | C + C |.

Un système multiple d'ordre k de | C |, soit [ AC |. est la somme de /." svstèmes égaux à | C|.

20. Evaluons le degré du système | C | : ce sera celui du système (i). c'est-à-dire le nombre des points d'intersection variables de deux courbes composées telles que C, 4- Co. Si n^ et n^ sont les degrés respectifs de | Ci | et |Co[, et si i est le nombre des points variables de rencontre d'une courbe C( et d'une courbe Co, on aura évidemment pour le degré 11 cherché de | C |

(a) n ^= rii^ ti^-^ ii.

21. Une autre relation importante est celle qui lie entre eux les genres des systèmes | d [ et | Co] et du système somme | C |. On l'obtient de la manière suivante :

Soient —, et tto les genres respectifs des deux systèmes | C) | et I Co |, ^1 le degré dune courbe C, et q-i le degré d'une courbe Co sur la surface y"; soient en outre L^ et Ao les ordres respectifs d'un même point-base pour les deux systèmes.

Effectuons la perspective de deux courbes C, el Co et dune courbe C sur un plan arbitraire. On aura pour la perspective de la courbe C,

fr/i — [)( <7, — 9.) -^/.lO., — Il

/i, étant la part provenant des points multiples situés sur les lignes multiples de la surface y, et k^ le nombre des points doubles apparents.

On aura de même pour la courbe C^

La courbe C, étant déterminée par une surface appartenant au système de surfaces adjointes dont l'une détermine la courbe composée C( + Co;, son degré sera égal '<i. q^ — q-x'-, elle aura comme points multiples provenant des lignes multiples un nombre de points équivalent à A, -^ h-i points doubles, et ceux provenant des points-bases seront d'ordre ).) + Ào ; quant aux points doubles apparents, leur nombre sera égal à /,', -j- Ao — II, en désignant par H le nombre des points doubles apparents provenant des droites qui, passant par le point de vue, rencontrent à la fois G) et Co- Par suite, on aura

().,-f- À2)(Ài— À.— Ij

D'ailleurs, si Ion désigne par i le nombre des points mobiles de rencontre d'une Ci et d'une Co, on a évidemment

DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE f:OlRItES SUR LES SURFACES. I07

Des relalions précédentes, on déduit de suite

C'est la relation que nous avions en vue (').

22. Les définitions que nous avons données précédemment de système complet et de système somme, et les formules qui s'y rapportent, sont relatives à des systèmes irréductibles bien déterminés, dont la dimension, par conséquent, est au moins égale à un. sans tenir compte de la partie fixe qui se trouve apjiartenir alors à la courbe résiduelle que nous avons désignée [)ar Y . Il y a lieu de voir comment les définitions précédentes devront être modifiées lorsque les systèmes envisagés ne peuvent plus être considérés comme irréductibles.

Tout d'abord, s'il s'agit des systèmes réductibles, sans partie fixe, c'est-à-dire composés des courbes d'un faisceau, on peut, comme pour les systèmes irréductibles, définir un système complet. La notion de système complet somme de deux autres s'ensuit immédiatement, si les deux systèmes ne sont pas relatifs au même faisceau, c'est-à-dire différents. Le système défini par l'équation (i) du n" 18 est alors irréductible, et il existe un système irréductible normal jCi-r-Col, somme des systèmes donnés, et dont le degré est égal à 2^, i étant toujours le nombre des points de rencontre variables dune courbe Ci et d'une courbe Co. Si, au contraire, les systèmes | Ci | et | Co| sont tous les deux composés des courbes dun même faisceau, le système (i) est réductible, et le système somme peut n'être plus irréductible.

IV. — Addition d'un système complet à une courbe fixe ou à un point.

23. Supposons maintenant qu'il s'agisse d'un svstème irréductible avec partie fixe, qu'on peut représenter par la notation

(') Celte relation est identique à celle que l'on rencontre dans la théorie des systèmes linéaires de courbes planes. Elle a été étendue aux courbes sur les surfaces par M. Enriques qui a fait usage à cet efl'et de considérations assez délicates sur la connexion des surfaces de Riemann; la vérification diiecte est immédiate, comme le montre le calcul qu'on vient de lire.

dans laquelle Go désigne la partie fixe et |C,| l'ensemble des courbes irréductibles.

Vsi^Y système complet contenant totalement le système précèdent, nous entendrons le svstènie le plus ample avant la courbe composée C(i-f-C( comme courbe totale, et comme points-bases les points-bases de | G) |, sans rien spécifier relativement à la courbe Go- Pour construire ce système, il suffit par Go-r-G, de faire passer une adjointe <ï> d'ordre v suffisamment élevé; soit F la courbe résiduelle en dehors de Go-4-G,; TensemlDle des adjointes d'ordre v passant par Y et ayant, avec la surface /, aux points-bases de | G( |, le comportement voulu, déterminera ce système d'une manière unique. On peut le représenter par | Go-h G, |, Go étant supposé un système de dimension zéro, sans points-bases. Il est évident que dans ce cas le degré du système complet n'est pas le même en général que celui du système proposé.

Le système |Go-l- G) | peut d'ailleurs être réductible ou irréductible. G'est ainsi que le système de toutes les surfaces adjointes d'ordre m — 4; q'^'i passent toujours par les courbes exceptionnelles de la surface y, détermine un système complet qui sera réductible si ces courbes existent.

La définition du système somme s'étend d'elle-même. |G) | et | Go| étant deux svstèmes quelconques réductibles ju non, la somme I G, -f- GoJ est le système complet le plus ample ayant comme points-bases les points-bases des parties variables de ) G| | et de I Go] avec leur comportement.

Remarquons enfin que les formules (a) et (|3), qui donnent le degré et le genre d'un système somme, dans le cas où les systèmes composants sont irréductibles, ne peuvent pas en général être appliquées sans modifications.

2i. Donnons encore quelques explications relativement à l'opération qui consiste à ajouter un point à un système linéaire de courbes. Getle locution est fréquemment employée dans les Mémoires de M. Enriques; toutefois, l'éminent géomètre ne nous paraît pas avoir explicitement donné la véritable origine de cette opération.

Envisageons sur la surface f un système linéaire irréductible simple et complet | G | défini par le système de surfaces

aoLo -r- ai L] -^. . .-r- a,.L,. = o,