DES SYSTÈMES I.INÊAIUES DE COURBES SLR LES SURFACES

les surfaces L/ étant des surfaces i^énérales du système, ce que l'on peut toujours supposer. Soit O un point simple de y Cjui soit un point-base d'ordre À du système | C [, et pour simplifier nous admettrons que ce point-base soit unique. Effectuons la transformation biralionnelle

Ijo Iju lJ^)

(pii admettra le point O comme point fondamental. A la surface y d'ordre/?? va correspondre une surface /"' d'ordre n, si n est le degré du système | C [; au système |Cj va correspondre le système I C'I des sections planes de/', qiii n'aura pas de points-bases; au point O correspondra, comme on le voit facilement, une courbe unicursale Q d'ordre X, qui n'aura pas, en général, de points niuliiples. Cela posé, par une courbe C et par 12 faisons passer une -uri^ace adjointe ft> d'ordre v', qui coupe la surface y' suivant une ( ourbe résiduelle F', et envisageons le système de toutes les adjointes d'ordre v' passant par F'; elles déterminent un système complet I C'-î- Q [ de courbes dont le genre "' se détermine par la formule (p) : si - est le genre des courbes C et G', comme la courbe ù est de genre zéro, on aura

De plus, la courbe générale de ce système coupe une courbe C en /i 4- A points, et le système | C | est déterminé par celles des adjointes $' qui contiennent 0,

Au système |C'-t- 0| correspond sur/" un svstème complet que I on désigne par la notation symbolique

et qu'il est facile de définir. RemarqLions d'abord que les courbes C sont des courbes particulières quelconques de ce système, bien qu'elles ne soient pas des courbes générales. De plus, ce svstème ne peut pas avoir d'autres points-bases, s'il en a, qiie le point O, puisque, sur/*', le système |C'+ 0| n'a pas de points bases; sa courbe générale doit couper une courbe C en /i + ), points variables, et son genre doit être égal à t: -h a — i . Cela posé, par une courbe C faisons passer une adjointe <P d'ordre v, et soit F la

courbe résiduelle. Le système j C + O | sera défini par l'ensemble des adjointes ^ d'ordre v passant par Y et qui se comportent au point O de telle sorte que la courbe générale d'intersection coupe une courbe C en /? + A points variables, ce qui exige que le point O soil pour celte courbe générale cV intersection un point multiple d^ ordre a — i et non moindre, puisque, s'il était d'ordre \ — 2, il y aurait n + 2 A points d'intersection variables. Le genre de cette courbe est d'ailleurs bien égal à - -j- 1 — i, et ce système contient les courbes C comme courbes particulières.

Il résulte de là que le système | C -j- O |, sur /", est le système des courbes de même ordre que les courbes C, et ayant comme points-bases les points-bases de ] C |, mais avec un degré de multiplicité inférieur dhine unité. Si donc le point O est de multiplicité un pour I C |, il ne sera pas point-base pour | C -{- O ].

Revenant au système | C'-f- 0 | sur y"', on en conclut encore que ce système coupe Q en A — i points au moins.

Pour évaluer le degré /?, du système | C -[- O |, on remarquera que le nombre total des points d'intersection de deux courbes C est égal au nombre totaldes points d'intersection de deux courbes I C 4- O I ; on aura donc

d'où

Hi = n — I -f- -2 À .

Cette valeur est celle que l'on déduirait de la relation (a) en attribuant au point O ou à la courbe 0 un degré égal à — i.

2o. De la définition précédente, on conclut celle du système qu'on représente symboliquement par

IG-+-OPI (?^>0-

On en déduit que le système |Ch-Op|, sur y, est le système des courbes de même ordre que les courbes C, ayant comme pointsbases les points-bases de | C |, mais avec un degré de multiplicité égal à ). — 0.

DES SYSTEMES LINEAIRES DE COUnBES SUR LES SURFACES. I I I

Le degré et le j^^enre du syslème |G~Op| se délerminenl de

siiile. On a

iir^ = n ^ -iAp — p-, et

Pour 0 = A, ces deux formules donnenf

V. — Soustraction des systèmes complets ; systèmes résiduels.

26. Nous avons défini précédemment ce que l'on devait entendre par syslème contenu tolalement dans un svstème donné. Nous allons définir maintenant ce que Ton entend j)ar système contenu parliellement dans un système donné.

Soit d'abord un système |C| irréductible et complet défini par des adjointes <ï> qui passent par une courbe résiduelle F et ont, en outre, avec la surface /'des comportements convenables en certains points. Une courbe C( qui n'est pas une courbe totale de système | C |, mais par laquelle on peut faire passer au moins une surface <I>, sera dite une courbe paitielle du système; il existe alors au moins une courbe résiduelle C2 de | C| par rapport à C), telle que la courbe composée Co+Ci soit une courbe G; l'ensemble des courbes Co forme un système qui est le résiduel de C, par rap|:iort à | C|, ce que 1 on exprime par la notation symbolique

I G, I = ! Gj— C,.

Envisageons maintenant deux systèmes irréductibles et complets |C| et |Gi| telles que la courbe générale de |G( | soit une courbe partielle de I G |, on dira que le système | G) | est contenu partiellement dans |G|. Quelques explications sont nécessaires pour bien préciser cette définition. Nous avons défini ce que l'on entend par système somme | G | de deux systèmes donnés | G| | et | Go |

I G i = ! G, -+- Go I et il résulte de cette définition que chacun des systèmes |G^ | et [C^

est contenu partiellement dans | C | et que chacun d'eux est le résiduel d'une courbe arbitraire de l'autre par rapport à |C|. Nous avons défini aussi ce que l'on devait entendre par système

I G i = I G,H- op ;. (o^l),

O étant un point-base d'ordre A pour | C, | : dans ce cas, bien que la courbe C, soit une courbe totale de |C|, le système j C, | sera dit contenu partiellement dans | C |, parce que la courbe générale de I C| I n'est pas une courbe générale de j C |, et | C) j sera dit le système résiduel de Op par rapport à | C |.

on ne peut pas, en général, déduire

mais que, réciproquement, si la seconde égalité peut être posée, «m peut, comme conséquence, écrire Ja première, ce qui a lieu dans les deux cas spécifiés plus haut. Nous verrons tout à l'heure comment on peut modifier cette représentation symbolique de manière à comprendre tous les cas.

27. Démontrons maintenant, relativement aux svstèmes linéaires irréductibles contenus partiellement dans un autre, un théorème complètement analogue au théorème démontré au Ghap. II, n° 7, relatif aux séries linéaires de groupes de points sur une courbe.

Soit un système linéaire irréductible | C ] défini par

où les o sont des adjointes d'un certain ordre passant par une courbe

DES SYSTEMES LINEAIRES DE COIUBES SUR LES SLRFACES. 113

résiduelle F, el par des poiiils-bases avec, eu ces points, le comportemenl convenable. Soil |(^i [ nn second sjsLème complet irréductible contenu partiellement dans C . Il existe, par conséquent, des surCiices du svslème (-j) f(ui passent par une courbe donnée de |C| |, soit C, , et par les points-bases de ce système avec le comportement voulu. Toutes ces surfaces déterminent un système linéaire complet ■ C!> , résiduel de C, par rapport à |Cj. Nous allons démontrer que ce système résiduel | C!, est indépendant de la courbe C, de \ Ci \ choisie.

Soit I C!', 1 le système résiduel d'une seconde courbe C, de \ Ci 1 par rapport à | C |.

Il suffît évidemment de montrer que T, C, et une courbe C!', sont sur une même adjointe du système ('^). Or, le système [Cj est déterminé par les adjointes •:> passant par F et une courbe C!,. Les trois groupes de courbes ci-dessous sont donc respectivement, par définition, sur une même adjointe '^.

Cm-

iF.

Go )

Par suite, en a|:)pliquant le théorème du reste, on en conclut que (^r, C", ) et C, sont sur une même adjointe, donc que le svstème résiduel de C, par rapport à IC| est le même que le svstème résiduel de C'( par rapport à C ; c'est ce que nous voulions établir.

En représentant par | Co | sans accent, le syslèaie résiduel, on pourra écrire svmboliquement

; G, | i C . -Ci= I G-G, .

28. Il résulte aussi de la démonstration précédente, (|u'une courbe C| et une courbe Co étant sur une surface adjointe | 'o [, la courbe composée C| -;- C2 est une courbe totale de jC , et que les points-bases pour jC^ qui ne sont pas points-bases pour jC| | sont bases pour , Cj i avec le degré de multiplicité voulu. La somme C, -- C2 j différera donc du système |C', en ce que le preniier système a, en outre des points-bases du second, les points-bases de i C| j non liases pour | C |. Désignant par A ces points et par a P. ET S., II. 8

Il4 CHAPITRE V.

leur degré de multiplicité, et nous reportant à ce que nous avons dit relativement à l'addition diin point, on voit que l'on peut écrire

i G ; = I cTTsÂi^- G, I

et en déduire

! G, : - I C-G,— ZASJ-i.

29. Des raisonnements analogues à ceu:s que nous avons faits au n" 21 montrent alors sans difficulté comment les relations (a) et (, 3) doivent être modifiées. En désignant par /?, /?,, /z^ les degrés respectifs des trois systèmes et par -. -, . t.., leurs genres, on a

( a' ) n — n i — n^ -^ 1 i -1- I. [JL- ,

„ U- l^ — il

30. Faisons encore une remarque dont nous aurons à faire usage dans la suite. SoitjCj un système linéaire irréductible ayant des points-bases O de multiplicité )>. Nous avons vu que ce système pouvait être déterminé au moyen d'un système de surfaces adjointes ou sous-adjointes. On fait passer par une courbe C une adjointe es d'ordre v qui détermine une courbe résiduelleT, et l'on envisage parmi tontes les adjointes d'ordre v qui passent par F celles qui se comportent en O de telle sorte que l'intersection avec la surface donnée ait en ce jjoint un point multiple d'ordre À. Laissant de côté cette dernière condition, toutes les adjointes d'ordre v qui passent par F déterminent un système linéaire, soit [L|, qui, si l'ordre V est pris suffisamment élevé, est irréductible, n'a pas de points-bases, et est ce que l'on appelle un système pw. Le système | L | contient partiellement le système | C |. et l'on a

! L I = G — S 0>- i ou

I G| = L-SO'-i.

Ainsi on peut, et d'une infinité de manières, considérer un système irréductible | Gj comme le système résiduel de ses pointsbases par rapport à un système pur.

DES SYSTU.MI-S LINEAIRES DE COURBES SLR LES SLRb'ACES. XI3

aura

■ L 1 = ' G-^Gi-f-SO>' I

31. Terminons ce Cliapilie par une observation importante. Les expressions symboliques dont nous avons fait usage et que nous emploierons encore dans la suite ne sont qu'un moyen de simplifier le langage et de résumer par un symbole une série d'opérations faites sur des systèmes linéaires de courbes. Elles n'ont de iKileur qw autant que Von a reconnu auparavant que ces opérations ont un sens et qu'elles sont possibles. Il est donc important de ne jamais leur faire subir une modification sans se reporter aux définitions. Donnons quelques exemples :

Nous avons vu que de régalilé

on ne peut, en général, pas conclure à l'égalité réciproque

I G I = i Gi-^G. |.

Il faut, pour passer de la première égalité symbolique à la seconde, vérifier auparavant que les points-bases de | G | se composent des points bases de | C, | et des points-bases de | Co | avec le comportemenl convenable.

Soit encore le système défini par

I Gi 1 = G ^ 0>^ I

où O est un point base d'ordre A pour | C |. On le forme en faisant passer par une courbe C une surface adjointe d'ordre v; soit T la courbe résiduelle. Le système | C, | est défini par l'ensemble des surfaces adjointes d'ordre v, passant par F, et par les points bases de I C ] avec un comportement convenable, sauf le point O. Or, il peut se faire que, de ces conditions, résulte pour ces surfaces adjointes la nécessité d'avoir le point O comme point-base, et alors le symbole précédent n'a pas de signification.

Considérons encore le cas où quatre systèmes | C| |, j C2 |, 1 C3 1, I (>i { seraient tels que le système somme [ C, -h C2 j serait équivalent au système | C;( + G/, |, en sorte que l'on peut écrire symboli-

Jl6 CHAP. V. — DES SYSTÈMES LINÉAIRES DE COURBES SIR LES SURFACES.

quement

On ne peuL en déduire rëgahlé

que si Ton sait, par ailleurs, que le système | G, [ contient partiellement I C3 |, ce qui peut ne pas avoir lieu.

Ces quelques exemples suffiront pour montrer quelles précautions il faut apporter quand on fait usa^^e des expressions symboliques, constamment employées par M. Enriques dans son Mémoire déjà plusieurs fois cité {Introduzione alla Geometria sopra le superficie algebriche, 1896).

DU SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINEAIRE DE COURBES ET DU GENRE NUMÉRIOUE.

1. — Du système adjoint à un système linéaire sur les surfaces

de genre géométrique supérieur à zéro.

J. NJous nous proposons dans ce Cliapitre de déiimr le systè/ue adjoint à un système linéaire de courbes sur une surface, et (Tétudier ses propriétés. Cette opération à ad j onction ^oue un rôle fondamental dans la théorie des systèmes linéaires de courbes sur une surface. Des relations qui existent entre un système et son adjoint nous déduirons, en particulier, l'invariance du genre numéricpie d'une surface.

2. Voici d'abord une définition générale : soit sur la surface /(x, j-, z\ -=■ o d'ordre m un svstème linéaire irréductible C [ de genre:: et de degré n ; on donne le nom de courbes sous-adjointes d'ordre n — 3 — /' au système C| aux courbes qui jouissent de la propriété de couper une courbe générale C en un groupe de points appartenant à une série g'2T.-2+rn-

Cela posé, envisageons en premier lieu le cas où \e sjstème |C| est celui des sections planes de la surface f. Le sjstème des surfaces sous-adjointes d'ordre m — 3 -i- /' découpe sur cette surface un système de courbes sous-adjointes d'ordre ?n — 3 — /• au système |Cj, et nous démontrerons plus tard (|ue réciproquement toute courbe sous-adjointe d'ordre m — .5 -f- /• au svstème des sections planes appartient à ce système. Parmi ces sous-adjointes, les plus intéressantes sont celles d'ordre ni — 3, et parmi ces dernières, celles qui sont découpées par les surfaces adjointes d'ordre m — 3 constituent le système adjoint proprement dit au système C des sections planes de /". Ce svstème est évidemment

Il8 CHAPITRE VI.

compris dans le système sous-adjoint d'ordre m — 3 et peut coïncider avec lui, si les systèmes des surfaces adjointes et sousadjointes coïncident.

3. Avant de définir le srs/ème adjoint à un système linéaire irréductible Cj quelconque sur la surface /, rappelons la définition du système canonique.

Le système canonique j K | sur ime surface est déterminé par le système des surfaces canoniques, c'est-à-dii'e par le système des surfaces adjointes d'ordre m — 4- Ce système peut être réductible : nous avons vu, en effet, qu'il contenait certainement comme partie fixe l'ensemble des courbes exceptionnelles âc la surface y. Sa courbe variable pourrait être elle-même réductible et sedécom- ])Oser, par suite, en un certain nombre de courbes d'un même faisceau. Ce dernier cas donne lieu à des observations intéressantes, comme nous l'avons vu au Chapitre \ III du Tome I.

4-. Soit maintenant |C| un système linéaire donné sur la surface y, que nous supposerons complet, irréductible, simple, de genre - supérieur à zéro, et de degré n. Nous aurons plus tard cpielques restrictions à faire sur ce système. Considérons le système de surfaces qui détermine [Cj, soit

(l) 'XqLo— 'J-iLi — . . . — !XrLr= o

les surfaces L étant des surfaces arbitraires du système, ce que l'on peut toujours supposer. Envisageons un système quelconque à trois dimensions, tel que

(->-) 'jloLq— XiLi-^ 'x^Li^ 7.3L3— o,

et effectuons la transformation

i-to '-'0 '^0

A la surface /' d'ordre /n va correspondre une surface /' d'ordre n. Au système (2) correspondront les sections planes de f, et au système (1) le système complet ' C contenant ces sections planes.

Sur la surface/' le système | C' | a un système adjoint | C^ j dé-

SVSTÈ.Mi: ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE COURBES. II()

termine par l(!S surfaces adjointes d'ordre n — 3. Le système [Gfl| correspondant sur f à | C^[ est, par définition, le système adjoint au système j G [.

5. Le système adjoint, ainsi dt'fini, dépend d'une opération effectuée sur une surface-image ; d'où une certaine indétermination apparente, et une difficulté pour établir les relations d'invariance qui existent, sur la surface /", entre un système et son adjoint. On conçoit donc l'intérêt qu'il y a à modifier cette définition de manière à ne lau'e dépendre le système adjoint que cV opérât ions effectuées sur la surface même. On y arrive facilement dans le cas où la surface donnée y a un genre géométrique p^ différent de zéro. C'est ce que nous supposerons tout d'abord dans la suite des théorèmes que nous allons établir. A^ous nous réservons de traiter ensuite le cas où le genre géométrique p^ de la surface est nul.

6- Commençons par démontrer l'importante proposition suivante : Une courbe canonicjue arbitraire ¥^ sur f découpe sur la courbe générale cV un système irréductible |C un groupe de points cjui, ajouté à un groupe de la série caractéristique de 'Cj et aux points-bases de ICI, comptés avec leur degré de multiplicité., constitue un groupe de la série canonicjue g^T.^^i - étant le genre d'une courbe C.

Soit |K'| le système canonicpie de la surface y, image de / effectuée au moven de la transformation (3), et soit O un pointbase multiple d ordre À du système jC|. A ce point correspond sur /', comme nous le savons, une courbe exceptionnelle ^, unicursale et de degré \, qui est coupée en A points par une courbe C image de C. Le système jK'], déterminé par les adjointes d'ordre n — I à y, contient comme partie fixe les courbes 0; on peut le considérer comme la somme |I!Q-i-K"| des courbes ù et d'une partie résiduelle |K"| qui peut avoir ou ne pas avoir de partie fixe. D'autre part, il résulte de la relation d'invariance qui existe entre les surfaces adjointes d'ordre m — \ à / et les surfaces adjointes d'ordre n — \ de la transformée f que le système |K| sur y correspond au système |K."| sur /'.

D ailleurs les points d(; rencontre d'une K' et d'une C sont^ dans le plan de C, sur une adjointe d'ordre n — \, et ces points.

ciiAi'iTrŒ vr.

avec n points en ligne droile, c'esl-à-dire avec les points de rencontre de deux C, sont sur une adjointe d ordte n — 3 à C. Ils forment, ])ar conséquent, un groupe spécial de itz — • ?, points.

Revenant alors à la surface f^ le groupe spécial que nous venons de définir correspondra aux points de rencontre de K et de C, aux points-bases comptés chacun avec leur degré de multiplicité et aux points de rencontre variables de deux courbes C, d'où la proposition énoncée.

7. ?Sous sommes en mesure maintenant de définir le système adjoint C^ au système jC , sur la surface /, par une série d'opérations efifectuées sur cette surface même, sans recourir à une surface-image. Dans ce but remarquons que, sur la surface/"', la courbe composée G ~ K', ou C'-f- SQ -h K", déterminée par un plan et une adjointe d'ordre n — 4? est sur une adjointe d'ordre a — 3 à/'; donc la somme \G ~ R' , ou la somme \G — SQ — K"j, est le système adjoint à jCj, comme il résulte de la définition d'un système somme, et à ce système '|C'^^| correspond sur /" le système adjoint |C„1 à |C|. Or, pour effectuer la somme }C'-t- SQ -— K"}, on peut, d'après ce que nous avons dit au Chapitre précédent (Chap. V, n" 14). efifectuer d'abord la somme jC-i-SOl et lui ajouter K" . ce qui, sur la surface /', revient à considérer le système C-f-}LO| et à lui ajouter le système |Kj. Le premier de ces deux s)stèmes n'est auti-e que le système des courbes" de même ordre que les courbes C, sur la surface f, et ayant comme points-bases les points-bases de [CI, mais avei; un degré de multiplicité inférieur d une unité, le second système est le svstème canonique de la surface/.

Le système adjoint \0a\ est donc la somme de ces deux systèmes. IL a nécessairement , d'après cette définition, comme points-bases d'ordre/. — i tout point-base d^ ordre /, de |Cj et. eu outre, les points-bases de [K^ avec leur degré de multiplicité, si ce dernier système en possède. On pourra donc représenter symboliquement le système adjoint jjar la formule

{%) lGa|=- :G — SO- Kl

qui résume toutes les opérations qu'il faut etlectuer sur la surlace / pour lobtenii-.