II. Quelques applications
8. Une première ajjplication imjjortanle du théorème de Nœthcr est la suivante : 'j; cl ']> ('tant deux courbes qui nonl pas de tangentes communes en leurs poi/its de reneonde, et cj et r ayant la même signification que précédemment, supposons <jue la courbe f ail, pour points multiples d^ ordre q ~\- r — i, chaque point de rencontre de o et -v ; d((ns ce cas on aura certainement
En effet, on peut, en chaque point de rencontre, ciioisir A' et B'
de manière f[ue
commence par des termes de degré q -^ r — i : il suffit de prendre
9. Proposons-nous en second lieu de reconnaître si une expression de la forme
oii P désigne un polynôme, est susceptible de se mettre sous La forme d' un polynôme en x et y, >- étant une fonction algébrique de X définie par V équation
f{x, y) =0 supposée de degré m.
Nous supposerons d'ailleurs que la courbe/' n'a que des points doubles et est orientée arbitrairement par rapport aux axes.
Il s'agit, en d'autres termes, de savoir si P(.r, r) peut se mettre sous la forme
^'{■'\ y) =' A/{.r, y) — B(a.r — 'ir -r- y)'".
Supposons cPabord que la droite y.x -h [jJ' — v ^^ o ne soit pas tangente â la courbe / et ne passe pas par un point double. Soit (a, b) un point commun à /' et à y.x -r ^j' -j- y ^ o ; ce point est
d'ordre ^^1:^1 pouryet d'ordre /• pour la courbe (a^-+- ^jr-j-y)'"^©. Appliquons la formule (6) du n° o. Dans le cas actuel, on voit en formant le résultant de /et de [v.x ^ ?J^ + Y)'^ ^^"^^ Js nombre désigné par / est au moins égal à ;■ - — i , que k est égal à r : on en déduit A' -f- \^i\ Pour que la représentation soit possible, on devra donc pouvoir déterminer A' et B' de manière que l'expression
dans le voisinage de tout point de rencontre [a, h ) commence par un terme de degré r.
Posons, en mettant en évidence les ensembles de termes homo-
gènes de même degré en x — a et y
P ■-. Pi - P.,
On devra avoir les relations
Pi-a;/,-o,
X'ofi— A\fi'- o,
Telles seront, par conséquent, les formes de P,, Po, .... P^, pour que la représentation soit possible.
Supposons maintenant que y.x -f- ,3j'-- y = o soit tangente à la
Fig.
courbe/' en un point (a, b) et que le contact soit simple. Bornonsnous d'ailleurs au cas où r = i . Pour les points en dehors du point de contact, P(.r, j') doit simplement j passer.
Pvclativement au point de contact («, b) on a /r^2, ;■ = ! , /=r^o, donc k' -- I =-^ 2. On devra pouvoir déterminer A' et B' de manière que l'expression
P- k'J'—E'{oix-^'iy — ^()
TIIKOIUCME I)K XOKTIIKIl. <J
développée suivant les puissances de x -— c/, y - A, commence par des termes du second degré. P, est, par suite, de la forme
c'est-à-dire que la courbe P(x, y) = o doit être langenle en («, b) hf{a\r) = o.
Finalement considérons le cas où la droite y.j- -+- '^^y -t- " =^ o passe par un point double, en supposant toujours /■ = i . On a A' = ?,, / = o. /■ ^= I , donc A' -f- i r:^ 2 .
Fis. 3.
Par suite
P — A'/ —B'(%x-^ 'iy - Y )
doit commencer par des termes du secoud degré, ce qui exige que Ton ait
donc que la courbe P(x, j'') ^^ o soit tangente en u/. 6) à la droite.
10. La (|uestiou précédente nous conduit à recherclier quelle
est r expression générale des fonctions rationnelles -^ de x et y.
lestant finies toujours à distance finie, y étant une fonctioi} algébricjue de x définie par l'érjuation f{x^ y) = 0. Nous aurons plusieurs fois à faire usage du résultat dans le cours de ce Volume.
Pvemarquons tout d'abord que l'expression ^ peut se mettre sous
la forme d'une somme de termes telle que
et considérons en premier lieu le cas où la droite .r^:= a ne correspond pas à un |)oint de contact ou à un point double de la courbe /.
Dans ces conditions, — ^ '-^ devra garder une valeur finie aux
points de rencontre à distance finie de la droite .r = « avec la courbe / : donc, P(.r, y) devant s'annuler en ces points, on pourra
lO CHAPITRE I.
mettre — ^--^ — sous la forme d'un nolvnome; et, en continuant le
raisonnement de proche en proche, il en sera de même de — Lîl Zl. ^ ' (a? — a)a
Dans le cas où la droite x — ■ a =^ o est tangente à la courbe /", au
point («, b ), il faudra encore cjue — ' ' - reste Unie au point
(a, b) et aux autres points de rencontre c de la droite et de la courbe/". Ce qui exige, en posant
que l'on ait B = o. La courbe P doit donc passer par les points c et être tangente à la droite x = a au point («-, b). Les conclusions
sont encore les mêmes, et l'expression — — — se réduit encore
à un polynôme.
Supposons eniîn que la droite x — a--=^o passe par un point double (<7, b') de la courbe /. Dans le cas où a = i, l'expression
n est susceptible, en général, d'aucune réduction. Soit alors a >> i , l'expression précédente devra s'annuler au point (c/, 6) et aux points c. Posons
V{x, y) = k^x — a)—Y>[y — b) - . . . et soient
les équations des deux branches de la courbe / qui passent par le point (rt, b). On aura
A -^ B ;jL -= o, A -+- B a' = o
donc A = B = o, d'où l'on conclut que la courbe P a, au point
(«, b), un point double. P doit d'ailleurs sannuler aux points c,
et, par suite, — ^ — ^^ sera un polynôme. L^n continuant de proche ^ X — a i ^ 1
en proche, on réduit l'expression ^^ — à une expression de la
lorme — — -^^-^ et ici la réduction est achevée.
TUKORK.ME DE ISOETIIEIl.
Finalement les fonctions rationnelles de x et y, ofi x et y sont liées par l'équation ,/(.?", y) = o, (/ni restent ton jours Ji nies éi distance finie sont de la forme
{x - (II) {a- — a^) ... yJ7 — a^ )
r/,,, rto. . • ., (/,/ étant les abscisses des points doubles de la courbe y, et 1* étant un polynôme qui s'annule aux points de i^eneontre des droites ./■ — <7/=^ o avec la courbe.
III. — Définition générale des adjointes. Théorème du reste ( ' ).
U . Dans le cas d'une courbe n'ayant que des points multiples à tangentes distinctes, la notion (V adjointe à une courbe donnée f(x,y) = o^ est la suivante : c'est une courbe ajanl an moins comme point multiple d'ordre i — i un point jnultiple d ordre / de la courbe f.
12. ^Considérons maintenant le cas d'une courbe /" avant des singularités arbitraires, et soit x ^^ o, y -^ o un point multiple d'oixbe /i ; il s'agit de définir la façon dont se comporte une adjointe en ce point. Cette adjointe A(^x, y) jouira des propriétés suivantes :
D'abord elle doit avoir le point O comme point multiple d'ordre n — I . Ensuite il faut, lorsqu'on effectuera la réduction de la singularité, que les transformées successives de l'adjointe ). aient comme points multiples d'ordre /• — i les points multiples d'ordre /• des transformées successives de /' qui correspondent au point O de cette dernière courbe.
[1 nous reste à voir si, ces conditions étant satisfaites, la transformée de la courbe A, après la résolution de toutes les singularités, se transformera en une adjointe dans le sens défini au paragraphe précédent. Nous avons donc à montrer que, dans toutes les transformations successives, les courbes transformées de A
(') Le lliéorènic du reste a été donné p;ir MM. tîrill cL Nutlier clans leur Mémoire fondamcnlal [Ueber die algebiaisclieii rimctioncii iiiid ilirc A/nvendung in der Géométrie {Matli. Anualcn, t. A'II)].
satisfont aux conditions d'une adjointe pour tous les nouveaux points multiples introduits.
Soit, en employant des coordonnées homogènes,
^ ' YZ ZX XY
la transl'ormation quadratique qui commence la réduction de la singularité O. La courbey" se transformera en F, la courbe \ en A, ces courbes étant dr-finies par les équations
)>(>, jK, 5) = Z"-i A(X, Y, Z 1;
et si m et [j. désignent les ordres respectifs de /et)., F sera d'ordre im — n et A d'ordre 2 'j. — n ~- \ .
Or, pour F, les points multiples introduits par la transformation sont le point X = o, Y - - o d'ordre m, le point X=:o, Z = o d'ordre m — /?, le point Y = o, Z =; o d'ordre m — n ; et pour A ces points seront respectivement d'ordre p., d'ordre îjl — n -\- \ , d'ordre [jl — n -\- y .
Soit d'abord ^ Im — i, alors À satisfera en ces points aux conditions d'une adjointe à F. D'ailleurs on a, entre les ordres de A et F, la même inégalité qu'entre les ordres de À et/", puisque de l'inégalité [J. 1 /^/ — i, on déduit au. — n — i^'km — n — i. En continuant la série des transformations, on arrivera donc bien au résultat énoncé.
Dans le cas où \x <C m — 1 , soit [j. = />2 — i — p, on ajoutera à l'adjointe primitive une courbe arbitraire de degré p. On aura ainsi une courbe composée d'ordre m — 1 qui se transformera en une adjointe après les résolutions de toutes les singularités.
13. Il ne sera pas inutile, en terminant ces généralités sur les adjointes, de revenir sur la définition transcendante de ces courbes. On verra conunent. par une application convenable du théorème de Nœther, on arrive, presque sans calculs, à donner aux intégrales de première espèce leur forme canonique. Nous montrerons ensuite que la déjlnition algébrique et la définition transcendante de V adj oinle sont équivalentes.
TllKOREMK I)F, NOETIIKU.
Nous avons à chercher les conditions pour que l'inlégralc
dx
reste finie pour tout point de la courbe f.
Considérons en premier lieu le cas oii la courbe f n'a que des points multiples à tangentes distinctes, et soit i l'ordre de l'un de ces points.
Nous avons d'abord à exprimer que pour tout point à dislance
finie, le quotient , reste fini. Si la droite x = a ne passe
pas par un point multiple, nous avons vu que ce quotient doit se réduire à un polvnomc.
Si la droite x ^= a passe par un point multiple (r/, h) d'ordre /. alors /doit contenir [x — -a)'*', en facteur, sur l'une quelconque des branches de/' passant par ce point, et l'on en conclut immédiatement que Q(^, J^) doit admettre le point (a^b) au moins comme point multiple d'ordre i, si a >> o. Dans ces conditions, appliquant encore le théorème de Nœther. le quotient
-^— devra se réduire à un polynôme. On passe ainsi de a à
a — ■ T, el, finalement, on arrive à une intégrale de la forme
où Q admet alors le point [a ^ h) comme point multiple d'ordre / — I .
La considération des points à l'infini de f permet ensuite facilement de déterminer le degré de Q{x^y). Si l'on suppose, comme il est toujours licite de le faire, que les directions asvmptotiques de/ sont distinctes entre elles et distinctes des axes, il suffit de faire la perspective
Aux points à l'infini de/ correspondent alors certains points à distance finie (X = o, Y = a), et comme on a
Q (x. y) dx \X A/
on en déduit de suite que le degré À "de Q est, au plus, égal à
Il V a Jieu de se demander maintenant si, lorsque la courbe a des
points singuliers quelconques, les intégrales de première espèce
sont encore de la forme
rOdx
■J yv'
Q étant un polynôme de degré m — 3.
Effectuons la transformation déjà étudiée (a)
qui fait correspondre à la courbe/ d'ordre m la courbe
de degré 0.771 — n, qui admet m — ■ /i asymptotes de la forme Z =: C. Il s'agit de montrer, comme l'on s'en rend compte immédiatement, que si la courbe F a toutes ses intégrales de première
espèce de la forme
'Q(Y.Z)dZ
Q étant un polvnome adjoint de degré 2771 — /i — 3 au plus, il en sera de même pour la courbe/'. Exprimons successivement que le polynôme Q admet le point (Y = o, Z=^o) comme point multiple d'ordre 77i — 7i — i , et qu'il a comme asymptotes les ni -^ n droites (Z = C). On en conclut que ce polynôme peut se mettre sous l'une et l'autre des deux formes suivantes :
Ceci posé, on trouve d'abord, en prenant Q sous sa première forme, et en tenant compte de l'équation f ^= o, la relation
0\( T, y) dx
0(Y, Z) = --^-iiJiZj.
THÉORÈME DE NœTHER. I j
D'autre pari, en envisageant la seconde forme de O, on trouve
(2) Q (;.' ■^' j = JinT-'J^i — '
( K étant un polynôme. Le rapprochement des expressions (i) et (2) de (^ montre cpie Qi(-P,.r) doit contenir j'-'''""^' en facteur, d'où ]'on déduit le résultat annoncé : les intégrales de première espèce de /', dans le cas où les points singuliers sont quelconques.
sont de la forme
iV.r, y) dx
et si. comme on peut le su[)poser, les points à 1 infini de / sont des points singuliers oïdinaires, on en conclura comme ])récédemment que le degré de P est au plus égal à t?i — o.
Il nous reste à montrer que les deux définitions algébrique el transcendante de l'adjointe sont équivalentes. La même transformation (y.) va nous servir pour arriver à ce résultat. Au point de vue transcendant, une courbe a(x-, r' = o est une adjointe si, pour tout point singulier, l'intégrale
'!( .r, y) dx
reste Jinie, en supposant les points singuliers à distance finie. Oion a, en tenant compte de F r= o, la relation
'iAx,y)dx \(Y,Z)dZ
Y n'étant [)as nul pour les transformées du point (.r =; o, )' = o), on en conclut, en continuant de proche en proche jusqu'après résolution de toutes les singularités, que la courbe transformée finale de A jouit bien des propriétés de l'adjointe selon la définition algébrique et qu'il en est par conséquent de même de la courbe À.
14. Le lliéorèniedu reste, dûàBrill etNœlher, dont nous aurons à faire un usage fréquent dans le cours de ce Volume, est le suivant :
Soit f{jc, y) = o une courbe de degré /??, que nous supposerons d'abord n'avoir que des points doubles, et soit :p une
adjointe cV ordre n. La courbe -^ coupe en général la courbe f. en dehors des points doubles, en un certain nombre de points que nous diviserons en deux groupes V et Q. Cela posé ^ soient 'h et 7 deux autres adjointes arbitrcnres (r ordre /?, la première passant par P, la seconde par Q; elles détacheront respectivement sur la courbe f des groupes de points Q' et P'.
La proposition que nous avons en vue consiste à montrer que les points V et O' sont sur une même adjointe d'ordre n.
Envisageons le poljnome d'y ; il s'annule aux points Pet Q, et a comme points doubles les points doubles de /'. Appliquant alors la remarque fondamentale du n" 8, on en conclut qu'on peut écrire ce polynôme sous la forme
et Ton voit de suite que la courbe p = o doit passer parles points doubles; c'est donc une adjointe. D'autre pari, elle passe par les points P' et Q', puisque la courbe cp n'y passe pas, et son degré est égal à n, si, comme il arrive en général, les termes de plus haut degré dans f et. z> n'ont pas de facteurs communs : la démonstration est ainsi achev^ée.
Dans le cas où la courbe / a des points multiples à tangentes distinctes, la démonstration précédente s'applique de même. La courbe 'iy a en chaque point multiple d'ordre / un point multiple d'ordre 2i — q. = i -^ i — i — i .
La remarque fondamentale du n" 8 s'applique encore et l'on peut écrire la relation (i). Il reste à voir que ,3 a un point multiple d'ordre i — i. Or soit, en groupant les termes homogènes,
a = ax — ax+i — . . . ,
TllKORK.MI': DK XOETIŒR. I7
et supposons, comme il arrive en yéncral, que fi et .5/, n'ont pas de facleias communs : si l'on avait y. <C « — i et \<^i — ;i, il faudrait que Ton eût
ce (|ui est impossible. La conclusion est la même que précédemment.
Il nous reste à considérer le cas où. la courbcy a des singularités arbitraires.
jMais nous avons montré qu'une adjointe se transforme en une adjointe après la résolution de toutes les singularités; cela suffît à faire voir que le théorème du reste subsiste dans les cas les p las généraux ^ car on peut remonter du cas des singularités ordinaires aux singularités quelconques.
IV. — Cas des surfaces. Surfaces sous-adjointes. Théorème du reste.
lo. Le théorème de jNœtlier s'étend au cas des surfaces de la manière suivante :
Soient oi^x, y^ z)=^ o, 'i>(x, jr, 3) = o, f(^x,y,z):^o trois surfaces; les axes étant supposés quelconques, il s'agit de trouver les conditions pour que le polynôme f[x,\\ z) puisse se mettre sous la forme
A et B étant des poljnomes entiers en x, j', z.
Si la représentation (i) est possible, elle le sera pour le cas des courbes d'intersection des surfaces o, 'i;, / par un plan arbitrai»e.
Ptéciproquement, supposons que, dans un plan arbitraire z = Zq, la représentation soit possible, c'est-à-dire que le poljnome f\JC,y\ Zo) soit susceptible de se mettre sous la forme ^(•^, r> -0) 9(.î^, y-, ^0) + B(.P, y, z^) ^|>(^% y, zo),
où A et B sont des poljnomes entiers en x et j^, mais qui peuvent contenir rationnellement Co • on aurait donc une identité
(2) l\{z^)fix,y,z^) = U{x,y, z^) o{x, y, z^) -^-'^{x, y, Zq)<1[x, y, Zq),
où M, N, R sont maintenant entiers par rapport à z.
r8 CHAPITRE I.
Soit ::o= ^- une racine de R(^o) = o, on aura identiquement
M(x, j, a)cp(ar, j-, a) — N(a7. 7, a)4/(ar-,j, a) = o.
Or 's(x,y,y.) et 'J;(jr,j^, a) n'ont pas de facteur commun, car autrement une partie de Tintersection des deux surfaces serait une courlie plane dans le plan z = a, ce qui n'est pas, les axes étant ai'bitraires.
Tl faut donc que N(:r, y, ol) soit de la forme
N(^, j, a) = o{x,y,<x)(l{x,y,x) = ■:^(x,j,Zo)Q -h(zo—y.)Qi,
en remplaçant a par Z(, -^ (a — ^o).
Mais on a
^{x,y,Zo) = N{x, y,cc)^(zo~ a)X(.r, j-, ôq, a),
donc
N(x,y,Zo) = 'f (.r, 7, ;o)Q -^(^o— '^)Q2,
Q et Qo étant des polynômes en x, y, Zq- Substituant dans (2), il vient
R{zo)f(x,y,Zo) = o{x,y,Zo)P ^(z„—!x)6{x, y, Zo)Pi,
P et P, étant des polvnomes en x^ y, z^. De là résulte que P doit être divisible par z^^ — a. On peut donc supprimer ainsi successivement tous les facteurs de R(;;o)? et l'on aura finalement
fix, y^zo) = o{x,y, z„) S{x, y, Zo) ^ '!^{x, y, Zo)T{x, y, Zq).
S et T étant des polvnomes en x, y, z^', et la démonstration est achevée (' ).
Appliquant une remarque faite relative aux courbes, on voit que si, en particulier, les surfaces o et à ont une courbe commune qui soit multiple d'ordre q pour '^ et d'ordre /■ pour 6, et si les deux surfaces n'ont pas de plan tangent commun en un point arbitraire de la ligne multiple, la surface /"satisfera aux conditions voulues si cette courbe est pour elle multiple de Tordre q -t- r — 1 .
