SYSTKME ADJOINT A UN SYSTÈME I.INKMUR DE COURBES

8. !3e celle défînilion des adjoiiilcs, exprimées par la relation symbolique (a), nous allons déduire une série de conséquences imporlanles.

Eu verlu du théorème de l'addilion, le syslème \C(i\ étant la somme des deux systèmes IG-l-SO| et !K', chacnn de ces systèmes est le système r('siduel de |C„| par rapport à l'autre. Nous pouvons donc énoncer le résultat |)récédent de la manière suivante :

Sur toute surface de genre géométrique diJJ'ércnt de zéro^ tout système linéaire irréductible, qui admet un système adjoint, est contenu dans cet adjoint et, le s) stème résiduel d' un système par rapport à son adjoint est le système canonique.

Ce résultat peut èlre exprimé par l'égalilé svmboli(|ue

|K| =. \Ca-C-I.O\.

9. Soient |C|i el iCo| deux systèmes irréductibles et Cj leur somme

iG! -- :c,— c.i.

En eftccluanl les opérations définies par l'égalité (a), on a ICI - |C,^G,-^^SO,-- SOo-K|,

O) étant un point-base de [Cil et 0^ un point-base de [Co • Remplaçant successivement |C,--SOi--Kj et jCj -r SOo -i- K], qui sont les systèmes adjoints à |Ci et à |C^', par lC(^,j et Goal, on en

conclut

|G„| - \Cu,-C,-y.O,\ -!G,«--G,-.-SO,l,

d où ce théorème fondamental au point de vue où se place M. Enriques :

Si |G,| et |Go| sont deux systèmes linéaires irréductibles de courbes sur une surface, le système \0\a\ adjoint au premier, additionné au second |Go|, donne un système |G,rt-i- G?] qui est contenu dans le système adjoint \0a\ à |G| et en diffère seulement en ce que tout point-base d'ordre A pour jGol et non pour IG,| est d'ordre A pour Gi^-i-Go et d'ordre A — i pour IGrtl.

10. Soit encore iC|! un système irréducLJble, et A un de ses points- bases d'ordre u, le système défini par

|Cl-A^■ = |C|

est le système des courbes du même ordre que C| sur/", mais avec le point base A en moins. Le système adjoint à [Cj différera donc du système adjoint à |Cij en ce cpie le second admet le pointbase A avec nn degré de multiplicité a — i et que le premier n'admet pas ce point comme point-base; on pourra donc écrire

1G«: - -Ci^-Ai^-'l et iCiai- ,Ca-A!^-i .

\\ . Les opérations précédentes sont relatives à l'addition. Supposons maintenant qu'un système Ci] soit contenu partiellement dans ut) svstème C : ce système, comme nous le savons, peut avoir des points-bases A d'ordre u. qui ne soient pas bases pour 1C|. Soit 1C2I le système résiduel de jC, par rapport à |C)',

!C,î ^ |Ci-c,.

Nous avons vu que le système jC n'est pas égal à la somme jC| — C2I en général, mais à la somme du système IQ, -^ ^AH[ et du svstème C>',

Soit B les points-bases de ICoj, c'est-à-dire les points-bases de jCj qui ne sont point bases pour jC,j. On aura alors, en appliquant le théorème de l'addition,

|C«1 = |(C, .- ^k\>-)a-^ C,--:î:Bi - lG,«-SA!A-'--C,-~XB,.

d'où

1C,„|- |Ga-lA!x-i C,-5:B|.