Sur une inégalité fondamentale relative à un système

contenu partiellement dans un autre.

12. Le système adjoint jCai détermine sur une courbe générale du système IC] une série de groupes de points appartenant à la série canonique gf^l-2, mais qui peut ne ])as être complète. Désignons par o(C) son défaut qui va Jouer dans la suite un rôle capital. La dimension de cette série sera alors

SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTÈME MNKAIKE DE COURBES. lïi

et e'est aussi la dimension de la série délerminée sur la courbe plane G', image de G sur la surface-image/' de /dont le système des sections planes correspond à |Gj, par le système |C]^j ou, ce (pii revient au même, par les surfaces adjointes d'ordre /i — o à celte surface/"'.

La dimension du système jG^j ou du système jG^^| est évidemment égale à la dimension de ce système de surfaces adjointes. Gherchons quelle est son expression en fonction de la dimension t: — I — • S(G) de la série précédente.

Il suffit de remarquer que, si Ton assujettit une surface adjointe d'ordre /? — î à passer par- — ^^(G) points pris arbitrairement sur la courbe plane G' de/"', en supposant cela possible, cette surface se décomposera en le plan de G' et en une surface adjointe d'ordre n — 4 cji'c nous supposons exister. Or, p^ étant le genre géométrique de la surface, la dimension du système canonique esl/>n^ — ■ i , et l'on a, par conséquent, pour dimension du système des surfaces adjointes d'ordre n — 3, ou du système adjoint [G^j de jG|, l'expression

Pff — 1 -^ ■J^ — ^(t^ )■

13. Soient |G| et |G| | deux systèmes linéaires irvédiictibles sur la surface f\ et soient ZiCA et o(G, j les défauts des séries déterminées sur une courbe G et sur une courbe G, par leurs systèmes adjoints l'espect ifs. Si |G)| est contenu partiellement

dans jGj, on a

Get important tbéorème se démontre de la manière suivante : Soient jGoj le système résiduel de |G|| par rapport à |G|, 7:2 son genre, i le nombre des points de rencontre d'une G) et d'une Gj itn dehors des points-bases, A, B et y. ayant les mêmes signiHcations qu'au n" 11. On a

71 = TTi -!-

yv- ( :->■ - 1 )

124 CHAPITRE Vf.

Remarquons tout d'abord que si Ton considère le système

|G'| = IC — :iAH-|.

dont le système adjoint |C^J est délini par

le défaut o(C') correspondant au système jC'| est égal au défaut 5(C) correspondant au système |Cj : on le vérifie de suite. Substituant le svstème [Ci au système 1C[, on a alors les relations

lC'i=|C,-C.3|

Tt' = ~j -^ 712 — i — I ,

la dimension du système adjoint |C^' étant

/>o--!-7r'— I — o(G), et celle du système \d\a\

Pg-^ TTi— r — o(Gi:i.

Or le système |C^J étant la somme des deux systèmes \^\a\ et ICo + SB , le système \^\a\ est le résiduel de |C^| par rapport à iCo^-SB , c'est-à-dire, d'après le théorème démontré (Cbap. V, n"2l2j, le résiduel de jC^j par rapport à une courbe arbitrairement choisie parmi celles du système [Co— SB] et, par conséquent, par rapport à une courbe Co, puisque, v désignant le degré de multiplicité des points B, le système jCj-r^BI est, par définition, le plus ample système avant les points B comme points-bases d'ordre v — i et que, par conséquent, une courbe C.. est une courbe totale de ce système.

La dimension du système \^\a\ sera alors égale à la dimension du système |C^| diminuée du nombre des conditions qu'il faut imposer à une courbe G^ pour qu'elle contienne une courbe Co. Ce dernier nombre est égal à la dimension augmentée dune unité de la série de groupes de points découpés sur une courbe Co par le système jC^j. Or, une courbe C'^ coupe une courbe Ci -h Co en -^Tî' — 2 points en dehors des points multiples, et elle coupe une courbe C| en 27î, — i ^- i points, ce nombre étant égal au nombre des points dinLersection de la courbe composée C,rt-^Co-l-IiB

SVSTE.Mt; ADJOINT A IN SYSTEME LINEAIRE DE COIUBES. li'i

qui définit le système C^J et la courbe C| ne passant pas par les

points B. La série déterminée par le système jC^ sur C> est donc

de degré

C'est une série non spéciale, qui peut avoir un défaut î et dont la dimension est, par suite.

On a donc I égalité

p„— -i — I — o(Ci I =/>g-— - — r — o(C) — ( -^2 — I — « H- e),

d"où

o(C; ^ ô(Ci; -!- t.

et le théorème est démontré.

III. - Maximum du défaut de la série découpée sur la courbe générale d'un système par son système adjoint.

14. En\isageous sur la surface /"le système irréductible 'Gj et ses dift'érents multiples

A chacun de ces systèmes, soit j/'G . correspond un système adjoint |(/'C)flj qui est défini sur la surface/' par l'égalité symbolique

Mais, en vertu du théorème fondamental de M. Enriques,

puisque

;(rG); = !C^i/-— i)C;,

on peut, pour définir le système adjoint à |(rC)', écrire

i(/'G)ai = ; Ca-^(/' — I)C|.

A ce système correspond, sur la surface-image y"' dont le système des sections planes jG'| correspond à |C , le système

!(,-G')ai = lG:,+ (r--i)G'!,

et comme une courbe G^^-h (/• — i)G' est déterminée par une sur-

face adjointe d'ordre n — 3 et par une surface arbitraire d'ordre r — I , on en conclut que le système tout entier est défini sur la surface f par le système des suif aces adjointes cV ordre n — 4 -^ ''•

15. Désignons par o(/-G) le défaut de la série des groupes canoniques déleraiinés sur la courbe générale de j/'Cj par son système adjoint. Le système \rQ\ étant contenu partiellement dans !(/■-:- i)^p on a, en vertu du théorème du n" 13,

o[r-i)G]^o(rG).

c'est-à-dire que le nombre positif o(rC). s'il n'est pas nul, ne décroît pas quand /■ augmente. Nous nous proposons de démontrer que le défaut o(/-C), lorsque r augmente, atteint un maximum, donc que, pour /■ suffisamment grand, on a l'égalité

o[(/--i)G] = o(rG).

Nous venons de voir que le système adjoint |(/"C)aj était défini

sur la surface transformée/' par le système des surfaces adjointes

d'ordre n — 4 -t- /' ^ /''. SoitN,j..^,la dimension de ce système de

surfaces; la dimension du système |(/'C)a| sera, si /■.■>4> égale à ce

nombre diminué de la dimension du système de ces surfaces qui

contiennent y et qui sont de la forme 8/', 8 étant un polynôme

arbitraire en x, j»', z d'ordre r — 4- Donc, la dimension du système

\{rC)a\ est

D'autre part, si, usant dun procédé bien des fois employé, on assujettit une courbe du système adjoint à contenir—^- — 0('/-C) points d une courbe /'C, elle se décomposera en cette courbe et en une courbe du système canonique, si ce système existe, ce que nous supposons. On aura donc, N«i =^ Pg — i étant la dimension du système canonique,

N , - 0^-^)ir--2)(r--i) , „ 5 ,, ,c ,

Changeant /• en /• — i et retranchant, on a

SYSTÈME ADJOrXT A VN SYSTÈME LINÉAIRE DE COL HUES. I27

et, en tenant compte de la relation

71,.+ 1 -- TT,.-:- TU -- /'/l I ,

on obtient finalement régalité

N„-;. ,.+ ,- N„,^,- 7: -H rn ^ o(/-G) - o[(r-x-i)G] ^ ''^''~^^-

Or, nous avons déjà obtenu une expression de cette différence au Chap. IV, n" 23, à propos de l'évahiation de la dimension du système des surfaces adjointes. En désignant par to„;^r le défaut (lu système des adjointes planes d'ordre n — 4 — /■ déterminé sur un plan arbitraire par les surfaces adjointes d'ordre /> — /j -+- /•, nous avons trouvé la relation

En égalant cette expression à la précédente, on a finalement la relation

(A) o[(r + i)G] - o(;-G) - co„,^,^,.

La conclusion est alors immédiate. JNous savons en effet que pour une valeur suffisamment grande de /•, le défaut w s'annule; donc pour une valeur suffisamment grande de /•, on aura l'égalité

o[(/---i)Gl-o(rG)-o.

16. Ainsi, lorsque /• augmente, le défaut o(/G) relatif au système \rC\ ne diminue jamais et atteint un maximum pour une certaine valeur de /•, à partir de laquelle il reste constant. Supposons que le système |C1 soit le système des sections planes de la surface / considérée. Quel que soit le système linéaire de courbes |C,| que l'on envisage sur la surface, on peut toujours choisir l'entier /■ suffisamment grand pour que le système |C(| soit contenu partiellement dans le système l'C] et, par suite, tel que

l'on ait

o|Gi|--o(/-G).

Mais ô(/"C) garde une valeur maximum constante à partir d'une valeur de r suffisamment élevée; donc :

Quel que soit le système jC,| irréductible em-isagé sur une surface j\ le défaut de la série découpée sur la courbe générale de ce système par son système adjoint a une valeur maximum indépendante du système considéré.

De plus, cette valeur maximum est un invariant , car il est bien évident, [)ar la manière mêinc dont nous l'avons définie, (juelle ne peut pas changer quand on passe d'une surface à une autre par une transformation biralionnelle.

17. De r invariance du maximum du défaut o(C) résulte r invariance du genre numérique pn de la surface. Reportonsnous au Cliap. IV, n** 24 : nous avons trouvé pour le genre géométrique d'une surface d'ordre m, une expression de la forme

( 171 — \){ m — %){in — î I , , , , „ 'V^

Pg = -. k[ m — 4 } — A- -4- > oj/j

et, par définition, le genre numérique p,, est déterminé par

l'égalité

Pg — Pn= 2 W/,,

/ étant la valeur de h à partir de laf[uelle les oj s'annulent.

Pour montrer l'invariance de />„, l'invariance de pg étant établie, il suffit de prouver l'invariance de la somme

des défauts des systèmes de courbes découpées sur un plan arbitraire par les surfaces adjointes à / d'ordre supérieur ou égal à /;/ — 3. On V arrive de suite en partant de la relation (A) du

o[(/- — i)]C— oO-Gj = oj„..i+,.+ ,

et faisant varier /• depuis la valeur zéro jusqu'à celle qui correspond à (0A=o. On trouve en ajoutant les relations ainsi obtenues

SYSTEME ADJOINT A UN SYSTEME EINEAIHE DE COI HBES. iU)

o(/'C) élauL la valeur niaximiim consicK'Tt'C ([ui est iiivariaiile. La somme des défauts oj est donc un invariant et il en est de nirine de pn '■ c'est ce que nous voulions établir.