IV. — Généralités sur les courbes sous-adjointes

18. Nous avons défini, dans les pages qui précèdent, le système adjoint à un système linéaire après avoir défini d'abord les surfaces adjointes et, en particulier, les surfaces canoniques. Puis, supposant l'existence d'un système canonique sur la surface, et nous appuyant sur la propriété d'invariance de ce système qui résultait pour nous de considérations de nature transcendante, nous avons démontré le théorème fondamental de M. Enriques d'où nous avons déduit l'invariance du défaut o(C) et, par suite, l'invariance du genre numérique/?,,.

Lorsque le genre géométrique est nul, si l'on veut suivre la même méthode, on peut bien encore, en se servant de la surfaceimage /' de /", dont le système des sections planes correspond au système donné | C|, définir les courbes adjointes au moyen des surfaces adjointes d'ordre n — 3 à/'. Mais, revenant ensuite à la surface y, il est difficile de définir, sur cette surface même, les opérations qui permettent de construire les courbes adjointes et d'en déduire ensuite, comme nous l'avons fait, le théorème fondamental de M. Enriques.

Pour éviter cette difficulté, et aussi dans le but d'établir l'invariance du système canonique qu'il n'admet pas comme démontrée, M. Enriques a suivi une voie tout à fait diflerente de celle que nous avons adoptée, dans la section [précédente, pour définir les courbes adjointes. Cette méthode, purement géométrique et algébrique, qui est applicable dans tous les cas (que le genre géométrique soit ou ne soit pas nul), est basée sur l'étude préliminaire des courbes sous-adjointes. Des propriétés fondamentales de ces courbes on conclut d'abord à la définition des courbes adjointes et, contrairement à la voie que nous avons suivie, on définit ensuite les surfaces adjointes et les surfaces canoniques.

Nous allons exposer les principaux points de cette méthode, en ayant en vue surtout le cas où la surface a un genre géométrique nul. Nous montrerons ensuite que, quel que soit le procédé em-

l3o CHAPITRE VI.

plojé, algébrique ou transcendant, on arrive à un même système canonique et nous aurons établi ainsi un lien entre ces deux manières différentes d'aborder Vétude des surfaces algébriques.

19. Une première remarque, dans cet ordre d'idées, est relative aux surfaces sous-adjointes. JNous avons vu (Chap. IV, n"*^ 13 et 14) que les deux définitions, algébrique et transcendante, que l'on peut donner de ces surfaces étaient les mêmes, en ce sens qu'une surface cj qui est telle que sa section plane par un plan arbitraire est l'adjointe de la section plane correspondante de la surface donnée/ est telle aussi que l'intégrale double

fy{x,y, z)

resle finie à distauce finie, sauf en un nombre limité de points, et réciproquement.

Abordons maintenant l'étude des propriétés des courbes sousadj ointes.

20. Soit toujours, sur la surface /(a:, jK, z) ^= o d'ordre m, un système linéaire irréductible | C | de genre tx et de degré n. Nous avons défini au commencement de ce Cbapitre ce que l'on doit entendre par courbes sous-adjointes d'ordre n — 3 H- /• au système [ C |. Ce sont des courbes qui jouissent de la propriété de couper une courbe générale C en un groupe de points appartenant à une série g'2-K~-i+rif Nous les désignerons par la notation S,-, et par S celles qui sont d'ordre n 'i.

Nous bornant d'abord au cas où le système \ G j est celui des sections planes de la sur/ace f, nous avons vu que le système des surfaces sous-adjointes d'ordre m — 3 H-/' découpait sur cette surface un système | S;-] de courbes sous-adjointes, de même ordre, au système | C j des sections planes. Cela résulte de leur définition même. Nous allons montrer que réciproquement toute courbe qui fouit de la propriété de couper un plan arbitraire suivant un groupe de la série g^Tt-'i+rm appartient à une surface sousadjointe d'ordre m — ^ 3 -h /•, sauf le cas oii la surface f donnée serait réglée ou serait une surface de Steiner.

SYSTEME ADJOINT V IN SYSTEM!-: J.INEAIRE DE COURBES. l3r

21. Supposons d'abord r<^.). Par une droite arbitraire a qui coupe la surface en m points en dehors de la courbe envisagée S,-, faisons passer un jjlan y. : il coupera la surface suivanlunc courbe |)lane C, et les points d'intersection de (^ et de S,-, qui sont ceux de S,- et de a, appartiennent à une série ^^-.o.^^,;.. Ces points, dans le cas considéré /•<^3, déterminent donc, dans le plan a, une courbe adjointe C,„;j^,. d'ordre m — 3 — r à C. Lorsque le plan a tourne autour de c/, cette courbe engendre iinc surface sousadjointe à y, qui pourra contenir p fois la droite «, et dont l'ordre sera m ■ — 3 — r -h p. Il nous suffit de prouver que o est nécessairement nul.

En effet, dans le cas contraire, l'intersection de la surface sousadjointe que nous venons de construire avec la surface y, se composerait, en dehors de S^ et des courbes multiples, d'une ou de plusieurs courbes passant par les points d'intersection de/'et de «, qui, par lijpothèse, n'appartiennent pas à S,-. Or, ces courbes ne peuvent être que planes et appartenir à des plans passant par a, sinon un plan quelconque passant par cette droite couperait la courbe S,, en un point de plus. Ces courbes phines sont, en outre, d'un ordre inférieur à ni. puisque l'intersection de la surface sousîidjointe par un plan a se compose de la droite a comptée o fois et d'une courbe dont l'ordre est égal à ni — 3 -t- /•<; m. Il existerait donc, quelle que soit la droite «, des plans passant par cette droite et coupant la surface /" suivant une courbe réductible, propriété qui n'appartient, daprès ce que nous avons dit (p. 63), qu'aux surfaces réglées et aux sui-faces de Steiner du quatrième ordre. Sauf ces cas, on a donc bien p ^= o et le théorème est démontré.

22. Supposons maintenant r^S. On fixera sur la droite a, r — a points arbitraires B,, Bo, .... B/-2 en dehors de /", et par /•• — 3 de ces points, soit Bo, .... B;.j, on fera passer /• — .'> plans arbitraires |3o. . . .. jJ^o ne contenant pas a. Les courbes adjointes à la section plane de C de f par un plan a passant par <;/, et qui contiennent les points de rencontre de S,- et de a, forment alors

un système linéaire de flimension ^ On fixera 1 une

de ces courbes en l'assujetissant à passer par les points B, à avoir au point Bo deux points confondus avec le plan |io, etc.. et au

l32 CIIAPITRK VI.

point B,o, /• — 2 points confondus avec le plan '^^r~-2- Cette courbe ne peut d'ailleurs se décomposer en la courbe C et en une courbe d'ordre /• — 3, car il n'existe pas de courbe d'ordre /' - — 3 passant parles points B et avant en ces points avec les plans 3 le contact spécifié. Donc la courbe adjointe que nous venons de définir, quand le plan a tournera autour de a, sera une surface sous-adjointe d'ordre au moins égal à ni — 3 -h /•, et l'on démontrera, comme précédemment, que cet ordre est précisément égal à j7i — 3 -4- f\ sauf dans les cas exceptionnels que nous avons spécitiés. Le théorème est encore démontré.

23. En nous reportant à un théorèiiie démontré au Chap. I^ , u" lo, il résulte encore de la démonstration précédente, c\a une courbe quieoupe tous les plans d' un faisceau suivant un groupe de la série g-2T.~2+rm jouit de cette propriété pour un plan arbitraire et est, par suite, une courbe sous-adjointe d'ordre ni — 3 — /• au système des sections planes de la surface y.

En résumé, toutes les courbes sous-adjointes S^ d'ordre m — d -^ r au système des sections planes | C | de la surface f forment un système linéaire défini par le système de toutes les surfaces sous-adjointes de même dimension m — 3 -^ /■. Ce système est donc un système complet j S,-|.

24. Considérons maintenant^ sur la surface /, un système linéaire arbitraire | C , complet, irréductible, simple, de genre t supérieur à zéro, de degré /?, et tel, en outre, qu'il n'existe pas, sur la surface, de faisceaux de courbes ayant, avec ce système, un seul point variable d'intersection. Soit

(i) aoL(,-f- «iLi— . . .— a,.L,. = o

le svstème de surfaces qui détermine | C , : on peut toujours faire en sorte que les surfaces L soient des surfaces arbitraires du système. Envisageons le svstème à trois dimensions

(>) aoLu— XiLi— aoLi;— a3L3= o

et effectuons la transformation habituelle

, Li , L, , U

SVSTKME ADJOINT A UN SYSTEMF LINKAIRIC l)K (OIRBES. |J3

qui Iransforme la surface /en la surface/' d'ordre // douL le sysLème complet contenant les sections ])lancs correspond au système |G|. f^e genre du système transformé sera d'ailleurs égal à t:, et, d'a|)rès les hypothèses faites, la surface/' ne sera pas réglée.

A une sous-adjointe d'ordre /i — 3 -r /" au système 1 C | sur J correspondra sur/' une sous-adjointe de même ordre au système des sections planes de /', et réciprocpiement. Donc le système complet 1 S,, j de toutes les sous-adjointes d'ordre n — 3 H- /• au système | C j des sections planes de f a pour correspondant sur/' un système complet | S,- j qui contient toutes les courbes S,- sousadjointes d'ordre n — 3 -+- r au système | C |.

L'indétermination, qui semble exister dans cette définition, par suite du choix particulier des surfaces L qui ont seryi a effectuer la transformation, disparait d'ailleurs d'elle-même, si l'on tient compte de la remarque faite au n" 23. à savoir qu'une courbe qui coupe tous les plans d'un faisceau suiyant un groupe de la série .■?'2Tt 2+r« jouit de cette propriété pour un plan arbitraire. Si donc, dans la transformation précédente, on modilie seulement les surfaces Lj et L3. le système j S), j ne changera ])as, et comme d'ailleurs on peut toujours passer dune surface transformée à une autre par une série de surfaces ayant deux à deux nn faisceau commun, on en conclut bien que l'ensemble de toutes les sousadjointes d'ordie n — 3 — /- au système |Gj sur f forme un système complet j S,- 1 qui est complètement déterminé j)ar le système de toutes les surfaces sous-adjointes d'ordre 11 — 3 — /• relatives à une surface d'ordre n image de la surface donnée, que I on obtient au moyen de quatre surfaces arbitraires linéairement indépendantes du système des surfaces qui détermine le système donné | G j .

25. Si l'on impose aux sui'faces sous-adjointes des conditions supplémentaires, si par exemple on considère, au lieu des surfaces sous-adjointes, les surfaces adjointes, il est évident que l'on obtiendra d'autres systèmes complets, d'après la définition même de ces systèmes, qui seront composés uniquement de sousadjointes.

Il résulte du théorème précédent que ces systèmes seront compris partiellement dans le système com|)let défini au numéro pré-

cèdent, qui est formé de toutes les sous-adjointes et que nous appellerons le système total complet des sous-adjointes d'ordre n — i -h r.

De là résulte encore, et ceci est important, que le système résiduel d'un système partiel de sons-adjointes par rapport au système total ne pourra se composer que de courbes n'ayant avec le système donné | G| aucune intersection variable, ou bien que le système partiel aura quelques points-bases non bases pour le système total. D'autre part, des courbes n'ayant avec le système I C I aucune inferseclion variable ne peuvent être que des courbes fixes fondamentales par rapporta ce système. Donc le système résiduel d' un système partiel de sous-adjointes par rapport au système total de ces sous-adjointes ne peut se composer que cVun ensemble de courbes fondamentales et de points fixes.

Nous nous bornerons, dans ce qui va suivre, aux. sous-adj ointes d' ordre n — 3, que nous désignerons par S sans indice.

26. Voyons maintenant ([uelles relations existent entre les systèmes sous-adjoints de deux systèmes dont l'un est le résiduel d'une courbe ou d'un troisième système par rapport à l'autre.

Soit I G| I le système résiduel d'une courbe C^ par rapport à un

système | C j

I Cl ; ^ j C I — Ca.

Si le système \ S ] des sous-adjointes à j C ] contient la courbe Go, le système résiduel | S | — Go constitue un système de sous-adjointes à | G |, qui pourra être partiel ou total, c'està-dire que les courbes de ce système découperont sur une courbe G, arbitrairement choisie un groupe de la série ^^o^^^^o, —, étant le genre de | Gi |.

Pour démontrer ce résultat, remarquons que parmi les surfacesimages /"' de f dont le système des sections planes correspond au système | G ], nous pouvons en choisir une telle que l'une de ses sections planes se décompose en deux courbes 0\ et G!, correspondant à la courbe G| arbitrairement choisie et à la courbe Go. Or les points multiples d'une courbe plane G' transformée d'une courbe G appartiennent aux lignes multiples de la surface f . Il en est de

SYSTÈME ADJOINT A UN SYSTEME LINEAIRE DE COURBES. l3)

même poui' la courbe C\ -f- Cl, mais elle aura, en outre, / points doubles correspondant aux c points d'intersection variables d'une Ci et d'une Co. Le système | S | des sons-adjointes à i C j est, par définition, déterminé sur /' par l'ensemble des surfaces sousadjointes <!>' d'ordre n — o. Soient n, et n-^ les ordres respectifs de C\ et de C, siiv f\ en sorte (|ue l'on a n ----- n^ -\- n,. Celles des surfaces <I>' qui passent par C, , ce qui est possible par hypothèse, détermineront sur y' le système |S — C,,. Or, chacune de ces surfaces découpe sur le plan de C, --C!^, en dehors de C!,, une courbe d'ordre n — 3 — /?2= n\ — o, qui est évidemment adjointe à C', et coupe, par conséquent, C, en o.~^ — 2 points en dehors des i points d'intersection de C, et de C',- Or, ces points sont ceux où la courbe d'intersection S — C, de la surface <!>' envisagée et de y' coupe la courbe C, ; donc cette courbe S — C'^ (et, par suite, sur la surface y, la courbe S — C2) est une sous-adjointe à C,, ce qu'il fallait démontrer.

27. Envisageons encore le cas où un système j Ct | se déduit d'un système j C j par l'adjonction de nouveaux points-bases. Il nous suffira de supposer que l'on adjoint au système | C | un seul pointbase O d'ordre 1, en sorte que le système } Ci \ est défini par

Dans cette hypothèse, les sous-adjointes à ; C ! qui ont le point O comme point-base d' ordre Ai, si cette opération esl possible, sont des sous-adjointes à j d .

La démonstration est imméiliate. Les sous-adjointes S, sur /', coupent toutes les courbes C, et, par conséquent, la courbe C|, qui est une courbe totale de | C |, en un même nombi'e de points. Donc les sous-adjointes S qui ont le point O comme point multiple d'ordre ). — i couperont C), en dehors de ce point multiple et d'une partie commune à toutes les courbes C, en

■ITZ - 1 — À ( X I )

points. Or, si tt, désigne le genre de C,, on a

l3(') CHAPITRE VI.

d'où

et, par suilCj les courbes du système , S — O^""' ] sont bien des sous-adjointes à | C, j.

128. Si le système [ C, se déduit du système G ;. en imposant au point-base O de , G ', supposé de multiplicité A, une multiplicité supérieure A-f-o, on verrait, par un raisonnement analogue au précédent, que les courbes du système j S — O? i sont sousadjointes à ^ G) j.

29. En résumé, soit un système \ G) j que l'on déduit d'un système ; G', en retrancliant de ce système un système j Go I el imposant au système résiduel des nou\eaux points-bases O d'ordre A non bases pour j G I, en sorte que l'on peut écrire symboliquement

si I S j désigne le système total des sous-adjointes à | G j, ou un système partiel, les courbes du système

I S — G, — :so>'-i i,

si l'opération ainsi définie est possible, forment un système complet de sous-adjointes à ] G, ] , qui peut être total ou partiel. S'il est partiel, le système total j S, sera la somme de ce système partiel et d'un groupe Q, de courbes rondamentales pour G, et parmi lesquelles nous supposerons compris les points-bases appartenant au système partiel et pas au système total. Nous écrirons donc

Si :- ; S — G.^^2:o>--i-ei ;.

30. Les remarques précédentes se rapportent à la soustraction d'une courbe du système sous-adjoint. Envisageons maintenant l'opération de l'addition. ,

Soit jG; = G, -i-Go { le système complet, somme des deux systèmes irréductibles | G, | et j Go I. Nous savons que chacun de ces systèmes peut être considéré comme le résiduel de Tautre par rapport à | C | (Cbap. V, n° 21). On peut, en particulier, considérer le système ] G, j comme le résiduel de ' G j par rapporta une