SYSTLME ADJOINT A IN SYSTÈME LINÉAIRE DE COIKBES

courbe C-.,

iGH = !G|-C,.

Soient I S, le système total des sous-adjointes à | C| . et [ S , celui des sous-adjointes à ] C |, 0, un groupe de courbes fondamentales pour I Cl |. on a, en vertu des remarques précédentes (n" 29),

puisque le système j C| | n'a pas de points-bases qui u'apparliennent pas à ' G '. Ainsi le système | Si ' est le résiduel du système ! S — 0) I par rapport à | Co ' .

Supposons, en outre, et cela suffit pour le résultat que nous voulons mettre en évidence, que le système j C^ ' n'ait pas de pointsbases : alors le svstème S -!- B, | sera la somme des deux systèmes i Si j et i G2 i ( Chap. V. n" 2o),

Si^ Ci . - S--O1 '.

d'où Ion conclut que si les courbes f)i fondamentales pour j G| ' ne sont pas fondamentales pour j G ', une courbe S — 9i coupera une courbe G en plus de 2- — 2 points, donc que le svstème S, -h Go J ne sera pas formé de sous-adjointes à j G}. Ainsi, tandis que le système | S — G^ ] résiduel du système des sous-adjointes \ S j de I C| pai- rapport à Go | forme un système de sous-adjointes à j Gi . réciproquement le système | S,-r Go | somme du système des sous-adjointes « j G| [ et du système j Go | ne forme pas, en général, un système de sous-adjointes à jG|. Cette remarque est capitale pour ce qui va suivre.

V. — Des courbes adjointes à un point de vue purement géométrique.

31 . Nous sommes en mesure maintenant de donner la définition du système adjoint à un svstème donné, telle que la formulée M. Enriques ('), sans supposer faite préalablement l'étude du système canonique.

M) Frederigo Enriques, //i</'orf«c«o/ie alla Geometria sopra le superficie algebriche ( n° 25) [Memorie delta Società ilaliana délie Scienze (delta dei XL), série IV, t. X.

G. C.iSTELXUovo et F. Enkiqles. Sur quelques résultats récents dans la théorie des surfaces algébriques {Matheni. Annalen. t. XLVIII ).

r38 CHAPITRE VI.

En outre des propriélés du système sous-adjoint que nous venons d'établir, il faut admettre, comme point de départ de ces recherclies, la possibilité de transformer une surface quelconque en une autre sans singularités dans l'hyperespace, c'est-à-dire en une autre n'ayant que des singularités ordinaires, courbe double et points triples, dans l'espace à trois dimensions. En nous reportant à ce que nous avons dit précédemment sur ce sujet, nous admettons donc la possibilité de définir, sur toute surface, un système pur non singulier, c'est-à-dire simple, irréductible, sans points-bases ni courbes fondamentales et qui permet d'eifectuer la transformation précédente. Il existe une infinité de ces systèmes; nous les désignerons par la notation ] M [.

32. Cela posé, le système adjoint |M„| à un système |M| pur, non singulier, est, par définition, le système total des sousadjointes à ce système, et les surfaces sous-adjointes qui le déterminent sur la surface transformée (qui n'a que des singularités ordinaires) sont considérées comme des surfaces adjointes.

Cette définition des surfaces adjointes concorde bien, dans ce cas particulier, avec celle que nous avons donnée antérieurement (Chap. IV, n"20).

Appliquons à ces courbes adjointes | M^ | les remarques faites dans la section précédente.

Soient 1M,| et jM^j deux systèmes purs non singuliers; leur

somme

|M|= |Mi-4-Mo|

sera aussi un système pur non singulier. On aura donc, d'après ce que nous avons dit (n" 30), entre les systèmes adjoints, qui se confondent avec les systèmes sous-adjoints, non seulement la

relation

|M,«| = |M«— Mol,

mais aussi la relation réciproque

puisque ces systèmes nonl pas de courbes fondamentales.

Nous avons supposé que le système jM^I n'a pas de pointsbases. C'est ce qui a lieu le plus souvent, puisque le système-

SYSTÈ.ME ADJOINT A UN SYSTÈME LINÉAIRE DE fOLUBES. l3<»

somme d'un système de sous-adjolntes et de ses poinLs-bases forme évidemment un système de sous-adjoinles, et que nous avons supposé que le système I M^j était le système total des sous-adjointes. Mais, en restant dans la plus grande généralité, il se pourrait que cette opération de l'addition ne fut pas possible, et que le système |Mrt| eût nécessairement des points-bases. Nous devons donc supposer que les égalités symboliques précédentes sont écrites à des points-bases près.

33. Considérons maintenant un système irréducliljle arbi- Iraire |C|. On peut toujours supposer que ce système est obtenu au moyen d'un système pur non singulier |^I,I en retranchant de ce système un système irréductible |C', |, et imposant au système résiduel les points-bases O de [Cl avec leur degré de multiplicité )>. en sorte que l'on peut écrire symboliquement les deux égalités

I G I = I Ml — G'i — S 0>' 1 et

iMil = ;C--C', -SO>v

Or, nous avons vu (n° 29) f[ue le système défini par

;m,,-g',-so>-'i

est un système complet partiel de sous-adjointes à jCj, mais qu'il n'est pas, en général, le système total si le système }C} a des courbes fondamentales.

On donne le nom de système adjoint à iC à ce système partiel. Il est donc défini svmboliquement par

Pour que le système adjoint à |C| existe, il faut donc, d'après cette définition, que le système |M(„| contienne partiellement [CJ.

11 faut, en outre, pour que celte définition ait un sens précis, montrer qu'elle est indépendante du système particulier jM, | pris comme point de départ. Soit donc |Mol un second svstème pur non singulier, tel que l'on ait