Nous avons défini algébriquement plus haut les courbes

(') Dans son Mémoire déjà cité {Math. Annalen, t. VI), M. Nœther étend aux surlaces le théorème relatif aux courbes, mais sa démonstration est entièrement différente de celle que nous venons de donner.

THÉORKME DE NtETIIER. 19

adjointes, l'our les surfaces, il y a lieu de considérer des (uljoirit.es et des sous-adjointes ( ' ).

Nous nous bornerons pour le moment à la définition des surfaces sous-adjointes à une surface donnée /"(x, y, z) = o.

Nous dirons qu'une surface o[x, y^ z) ^ o est sous-adjointe à la surface f si une section plane arbitraire de /=; o a pour adjointe la section plane correspondante de la surface o (section par le même plan). Il résulte de celte définition qu'une surface sous-adjointe passe par les lignes multiples de la surface et, en particulier, si ces lignes multiples sont telles qu'en un point arbitraire les pians tangents sont différents, une surface sous-adjointe aura une ligne multiple d'ordre/? de la surface comme ligne multiple d'ordre p — i. Relativement aux points multiples isolés, les surfaces sous-adjointes ne sont soumises à aucune condition.

17. Le théorème du reste relatif aux courbes s'applique aussi aux surfaces. Soit /'(x j', ;;) = o une surface d'ordre /??, et soit o(j:, K, ::) = o une sous-adjointe d'ordre n. Supposons que cette sous-adjointe coupe la surface /*, en dehors des lignes multiples, suivant deux groupes de courbes P et Q. Envisageons deux autres sous-adjointes arbitraires d'ordre /î, soient •!( = o et y = o, la première passant par P et la seconde par (^ : elles détacheront respectivement sur la surface /'deux nouveaux groupes de courbes Q' et P'; il s'agit de montrer que les courbes V et (y sont sur une même sous-adjointe d'ordre n.

La démonstration est immédiate. Considérons les trois surfaces 'V/ = o, y= o, '^ = o;un plan C|uelconque, soit :: = ;„, coupe ces trois surfaces suivant trois courbes, pour lesquelles on peut appliquer le théorème de Nœlher; on a alors

^(^;7,-o)z(^' J, -0) = y.{x,y\z-o)f(x,y,z.^)^ ^jix^y, z^,) o{x,y, z^),

a et [j étant a priori des polynômes entiers en x et y qui peuvent contenir rationnellement ^„- On montre, comme précédemment, que a et ^ sont bien des polynômes en ::o, et l'on en conclut que la surface [3(x,j^,c) = o est une surface, en général d'ordre n,

(') Cette distinclion pai-ait avoir été faite pour la première fois d'une manière systématique par M. Enriques.

■20 CHAPITRE I. — THEOREME DE NOETHER.

passant par P' et Q', et telle que sa section parles plans : =:= const. est l'adjointe de la section plane correspondante de la surface/; nous verrons plus tard que s'il en est ainsi, un plan arbitraire coupe encore la surface p suivant une adjointe de la section plane correspondante de f, et le théorème est démontré.

Le théorème du reste s'étend aux sur/aces dites adjointes : nous le montrerons quand nous aurons défini ces surfaces.