IV. — Même réduction pour les surfaces quelcoiiques

12. Le théorème que nous venons d'établir est général. Une partie de la démonstration précédente subsiste entièrement: c'est celle qui est contenue dans le numéro précédent et qui s'arrête

à la forme (ti). En permutant x et jk, nous voyons donc que toutes les intégrales de seconde espèce se ramènent aux intégrales

P(a7, j', z-)dx cly

W{.r)fl

et nous devons donc étudier les intégrales de la forme

P (.T,y, z)clx dy

fP

(.r~ar\fl

La surface, nous pouvons le supposer, n'a que des singularités ordinaires (une ligne double avec points triples). On peut, de plus, admettre que l'intégrale initiale ne devient pas, en général, infinie le long de la ligne double (il suffirait, s'il en était autrement, de faire une transformation biralionnelle convenable); il en résulte qiieV s'annule le long de la courbe double. Enfin les axes de coordonnées ont vine position arbitraire par rapport à la surface.

Supposons d'abord que le plan x =^ a ne passe pas par un point-pince oupar unpoint triple de la courbe double. Ily a alors peu de modifications à faire à la réduction du n° 7. Reprenons les notations et les calculs de ce paragraphe ; nous devons chercher à mettre P(<r/, j', Ç) sous la forme

Le polynôme P(ft,r, Ç) s'annule d'ailleurs pour les points doubles de la courbe

Ici les trois polynômes y, /"^'., /!; s'annulent simultanément, mais on peut supposer que f ei f n'ont de tangente commune en aucun de leurs points de rencontre. Il s'agit alors de savoir si l'on peut déterminer un poljnome \k enjK et s, de telle sorte que la différence

P - îv;

soit de la forme \f' -h vf. Les points communs à / = o et /; = o

sonl de deux sortes; les uns sont des points simples de /et n'appartiennent pas, par suite, à/r= o. On peut choisir le polynôme ;j. de telle sorte que la différence P — a//' s'annule en ces points. Les autres sont points doubles de /'; la différence précédente s'annule en ces points; mais il faut de plus cpie, pour chacun de ces points,

la courbe

P — jx/; =: o

ait même tangente que la courbe /,. = o. et il est clair que 1 on peut choisir a de façon qu'il en soit ainsi, puisque f'^^o et fr = o ne sont pas tangentes en ces points.

Nous pouvons donc encore conclure que le cas de a quelconque se J'amène à a = i .

13. On ne peut pas faire la même réduction si le plan x^a passe par un point-pince. Pour qu'elle soit possible, c'est-à-dire pour qu'on puisse mettre P(«, )-, v) sous a forme voulue, il faut et il suffit que la tangente à la courbe

au point-pince, soit la tangente au point de rebroussement dans la section plane ^ = « ( ' ).

Or, pour l'intégrale considérée

'V {x, y, z) dx dy

la condition relative à la tangente pour la courbe P(<7,j)', ^)= o n'est pas remplie en général. Nous allons montrer que l'on peut,

(') On établit facilement, à l'aide du tliéorème de Nœther, que, si

/(jc. r ) = o

représente une courbe ayant des points doubles et des points de rebroussement ordinaires, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polynôme V {x, y) soit susceptible de se mettre sous la forme

a/— '.i-fy-r-^'/'j. ("'>, V-, '-' étant des polynômes).

est que la courbe P = o passe par les points doubles de /, et aussi par les points de rebroussement avec la tangente à / en ces derniers points comme tangente.

176 CHAPITRE Vil.

par une soustraction convenable, être ramené à une intégrale de même forme, mais où la condition voulue sera remplie. Commençons par quelques remarques très importantes pour la suite.

l-i. J'envisage les expressions de la forme

^"-^ ày\f'J ' àx\fL

U et V étant des polynômes en jr, r, z.

Cherchons à quelle condition cette expression est de la forme

M(^,jr, z) étant un polynôme en jc, y et z. En développant l'expression ci-dessus, on a

ci; \fzy Jz- f I J-i--) [Jzx J z' fi

fz n y? y? f^\^' '^'/u /^k"-' ''^'n,'

Il n'y aura pas de terme en -^ si Uy .+ ^ f'x 6St divisible par /".', c'est-à-dire si l'on a l'identité en x^y et ;,

(T) uyy.+v/i^A/i^B/,

A. et B étant deux polynômes. iNous allons voir que, dans ces conditions, l'expression proposée a la forme demandée. Il suffît de

montrer qu'il ne reste pas alors de terme en-^; or le coefficient de -jT7^ est égal à

En difFéi'entiant par rapport à z l'identité à laquelle satisfont L et V, on voit de suite que ce coefficient est de la forme

K et H étant des polynômes, et l'on a

ÔZ

Donc, l'expression (a) sei^a de la forme (3), si U et V satisfont à l'identité (y) en x,y et z.

15. Revenons mainlenanl au n" 13. Pour pouvoir ramener au cas de a = i, en suivant la méthode employée aux n"^ 7 et 12, il faudrait que dans l'expression

fl

P(x, y, z) dx dy

le polynôme P(^, y, z\ qui s'annule le long de la courbe double.

fût tel que la courbe

eût, comme tangente au poinL-pincc, la tangente au point de rebroussement de la courbe y(/y, )', z) = o. S'il n'en est pas ainsi, nous allons montrer qu'on |)eut faire une première transformation réalisant cette condition. Formons la combinaison

{T — <t)'^J"- Oy

ui peut s'écrire

Prenons pour L un polynôme tel que la surface U = o passe

par la courbe double et par la courbe simple de rencontre def=: o

ety'=o; de même, prenons pour ^'^ un poljnome satisfaisant

aux mêmes conditions, en ajoutant, en plus, la condition que la

surface

P(rc, y, z) -^ (oc — i ) V = o

soit tangente au point-pince à ia tangente k f(a,y, z-'j = o dans le plan x = a, et cette dernière condition peut évidemuienl être réalisée. D autre part la surface

a pour ligne dou!)le la courbe double de /'et passe, comme U ^ o et V = o, par la ligne simple de rencontie de y = o et/y := o ; on

a donc

Enfin -p et -7., restant finies en un point arbitraire de la courbe double, l'expression

sera de la forme

~ fz

M étant un poljnome s'annulant sur la courbe double. Donc, par la soustraction effectuée, l'intégrale

d dx

\fz

Pix, y, z) dx dy

(^ — «)V= est remplacée par l'intégrale

' (^i x, y, z) dx dy

IP

(.T-rt)V'^

oii a a la même valeur mais où le polynôme Q satisfait à la condition nécessaire pour notre réduction ultérieure, condition à laquelle ne satisfaisait pas P.

Nous concluons de là que, 5/ le plan x = a passe par unpoinlpiiice, V intégrale

'V {x, r, ^) dx dy

(x^ay^fl

peut, comme quand le plan ne passait pas par un point-pince, être ramenée au cas de a =— i .

Une démonstration analogue s'applique, avec peu de modifications, au cas où le plan x =z ci passe par un point triple de la courbe double, et nous pouvons, par conséquent, conclure que toutes les intégrales considérées de seconde espèce se ramènent à la forme

Vix.y. z

:-, dx dy.

16. Allons encore plus loin, et établissons que l'on peut faire disparaître le facteur x ■ — a du dénominateur. Nous partons de

SUR LES INTEGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. I jç)

rintégrale supposée de seconde esprce

'Pf.r, y, z) dx dy

fP

[P(.r, j)', :;) s'annulant sur ]a courbe double].

Nous savons (n" 6) que, dans le voisinage d'un point de la section plane x --= a, on obtiendra une intégrale restant finie dans le voisinage de ce point en retranchant de l'intégrale précédente une

intégrale de la forme

im'^m"'"^

[B(.r, r, jz) étant une fonction rationnelle de x, y et z ne devenant pas identiquement infinie pour x = a]. Il résulte de là que l'on a

— y; ;3^[B^«,j-, r.ij [./(«, j-, o = <->!•

La courbey\a, y, Ç) = o ayant des points singuliers, nous ne pouvonspas conclure, comme au n" 8, que B(r/, r, Z) est un polynôme en y et (^, mais il résulte des théorèmes les plus simples sur les fonctions algébriques d'une variable, que l'on peut écrire

M(j', V) étant un polynôme en j' et Ç qui s'annule pour les points de la courbe f(a, j', '( ) = o, qui correspondent à /{= o (si la courbe a un point triple, la courbe M(j', î^) ^ o aura ce point comme point double). Ceci posé, nous allons chercher à former un polynôme Q(^', JK, ^) tel c[ue la surface

Q( X, y, :.)=-- o passe par les deux courbes de rencontre des surfaces

(dont l'une est la courbe double que nous appellerons F, tandis (jue l'autre C représentera le lieu des points simples de la surface où le plan tangent est parallèle à l'axe des z-), et que l'on ait

e(j', z) étant un polynôme arbitraire, et où, comme nous Tavons dit, 'le polynôme mV: -) s'annule aux points doubles de la

courbe

et aux points simples de cette courbe où la tangente est parallèle à O::. [Dans le cas où le plan x = a passerait par un point commun à G et Y, la tangente à la courbe U{r, z) = o en ce point serait parallèle à l'axe des z.] La question revient à trouver une surface

passant par G et F, et coupant à distance finie le plan x=a seulement suivant la courbe U{y,z)^^{yj~-)f{a,y,z) = o. La possibilité de cette recherche résulte du théorème général de M. Castelnuovo sur les systèmes linéaires de surfaces établi dans un Ghapitre précédent : Un système linéaire complet de sLuiaces défini par des lignes-bases et par des points-bases découpe sur un plan arbitraire un système complet (régulier) de courbes, poiuTU que le degré des surfaces dépasse une certaine limite. Nous appliquerons ce théorème au système linéaire complet S des surfaces de degré À passant simplement par G et F, et aux sections par le plan x = a. Le système Hnéaire S découpe sur le plan ^ = « le système complet ^ des courbes de ce plan passant par les points où il rencontre G et F (si x = « passe par un point P commun à G et à T. les courbes du système plan ont une tangente déterminée, intersection du plan tangent à la surface en P avec le plan x = a), pourvu que le degré A des surfaces soit assez grand. Parmi les courbes du système ^ se trouve, si A est pris assez grand, la courbe composée formée de la courbe

et de la droite à Finfini répétée un nombre convenable de fois. U y aura donc, d'après le théorème de M. Gaslelnuovo, une surface

coupant le plan x = a suivant la courbe (a) et la droite à l'infini avec un certain degré de multipllcilé ; le polynôme Q rempbra les conditions requises.

SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. l8l

On voit alors que l'intégrale à soustraire peut être prise égale à D'ailleurs, l'expression

oy L n

sera de la forme

RCr.r, z)

(R étant un polynôme)

puisque le polynôme Q/|- sera nécessairement (n" li) de la forme

notre intégrale, par la soustraction de l'intégrale ci-dessus, est

donc ramenée à

FM .r, >', z) d.v dy

jNous arrivons donc finalement au théorème déjà obtenu pour les surfaces sans singularités :

Etant donnée une surface

que Ion peut supposer à singularités ordinaires [une ligne double avec des points triples), toutes les intégrales doubles de seconde espèce relatives à cette surface se ramènent peu- la soustraction d\ine intégrale de la forme

(U et V rationnelles en x^y et z) au type

V {.T. 1', :;) dx dv

ir

\\x^y,z) étant un polynôme qui s'annule pour la courbe double.

l82 CHVPITRE VII.

V. — Théorème fondamental sur le nombre limité des intégrales de seconde espèce.

17. Il s'agit maintenant de montrer que les intégrales de seconde espèce

Pf.r, y. z) dx dy

se ramènent à un nombre limité d'entre elles. Nous ferons cette réduction en retranchant de l'intégrale précédente une intégrale

ovi U et V sont des polynômes.