Partons de l'intégrale (I), où le polynôme

est de degré yj, et désignons par P,(j7,j)^, :r) l'ensemble des termes homogènes et de degré /> dans P. Posons

^ ( V =.rPi+K.

H et K étant des polynômes de degré p en x, y et :;. On peut choisir, si p est assez grand^ les polynômes H e^ K de degré p^ de telle manière que Von ait l'identité

U/j -1- Vy,. = AyV-r- B/ (A et B étant des polynômes), identité qui peut s'écrire

Pi(7/;---^/i)--H/;.-K/;=A/:-B/.

Pour légitimer cette assertion, nous n'avons qu'à nous appuyer sur la proposition de M. Castelnuovo dont nous avons déjà faiî usage (n° 16). Considérons la surface <I> représentée par l'équation

Elle passe par les deux courbes définies par les équations

SUR LES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. l83

L'une de ces courbes F est la ligne double de /; désignons Taulrc par C. Les axes ayant été pris arbitrairemenl, on peut supposer (pie C et F sont des lignes simples de rencontre de f^ = Oj J"^.=.o. Ensuite <ï> coupe le plan de l'infini, suivant la ligne

(y) ' = o, P,(>cp;.— j:o;. ) = o,

en introduisant la quatrième coordonnée homogène /, et en désignant par 'i l'ensemble des termes homogènes de plus haut degré m dans f. Réciproquement, toute surface de degré p passant par les courbes C et F et contenant la ligne plane (v ) a le premier membre de son équation de la forme

où U et V sont des polynômes de la forme (a).

D'autre part, la surface <I> est aussi représentée par l'équation

Elle passe donc par la courbe simple D de la surface /, définie par les écjuations

De plus, elle passe, comme nous le sa^ions déjà, par la ligne double, mais nous voyons maintenant cjue $ est tangent à la surface

le long de la ligne double F; réciproquement, toute surface passant par D et par F, et étant tangente à /!= o le long de F, a le premier membre de son éc[uation de la forme

Considérons alors le système linéaire S des surfaces de degré m — p défini par les lignes-bases simples C, D et F, avec la condition cpie le long de F ces surfaces soient tangentes ày"^= o. Si/> est assez grand, et par suite m -h/?, ce système linéaire découpera

sur le plan de l'infini

l84 CHAPITRE VU.

le sjstème linéaire complet de courbes de degré m -|-/?, caractérisé par les points-bases simples qui sont les intersections du plan de l'infîni avec les courbes C, D et F, avec la condition supplémentaire qu'aux points d'intersection du plan de l'infini avec la courbe F, la courbe soit tangente à la surface y^=^ o. Or la courbe (y), considérée plus haut, définie parles équations

satisfait bien à ces diverses conditions, car la conrije / = o, yo'y-^xo'^=o

qu'elle contient partiellement, passe par les points à l'infini de C, D et F. Les points à l'infini de F satisfaisant aux équations

t =-. o, Cil = o, o = o,

la cowThe yo -r x-^\.--= o dont l'équation peut s'écrire

est bien tanoenle à a'.= o aux points doubles de 'j.

Donc, SI p est assez grand, nous pourrons certainement trouver une surface du système linéaire S, donnée soit par l'équation

soit par l'équation qui lui est idenlicjue

où U et V ont la. forme (a'.

19. Nous allons facilement achever la démonstration. Après avoir déterminé U et V comme il vient d'être dit, formons la différence

PCr, y. c )

OX \ f- )

f- p — ni -r- 3

nous allons voir qu'elle est de la forme

où Q est seulement de degré p — i , tandis que P était de degré/?.

SIR LES INTÉGRALES DOIRLES DE SECONDE ESPÈCE. i8j

On a riclcntité en x^ J^', :;

A et B étant des poljnonies respectivement de degré p — i et p. D'après le calcul du n" 1 i, on a sur la surface /= o

f) / U \ () I \ \ ~i)y ~ ~ôx~ ~ol.'~

Or, soient dans U, \' , A, B les termes homogènes de plus haut degré en x, y, z rej^résentés respectivement par «, r, a^ b\ on aura d'abord

donc

d'où l'on déduit

on en conclut

./ - - P, c - ^ ] b = mPi — l'^- )

P I ( — z's'-. — /n '^ I — a o^ -I- i o , (X polyn. liomoii. en x, y. z de degré p — i

On aura donc, comme on le vérifie immédiatement,

au ôv (la , OA

dy ôx Oz ^ ' Oz '

On pourra par suite, sur la surface f^ écrire

Oy^dr - ^T — 1^ = • /^ — '" " 3) Pi{x,y, z) +- 0{x,y, z),

Q{x^y^ Z) étant un poljnome de degré y; — i au plus. Nous con cluons donc de là qu'on peut passer de l'intégrale

ff

P( X, T. c ) dx dy

où p est un polynôme de degré /?, à une intégrale de même forme où P sera seulement de degré /> ^ i, pourvu que p dépasse une certaine limite.

l86 CHAPITRE VII.

20. Nous pouvons enfin déduire de toutes les transformations précédentes le théorème fondamental relatif au nombre limité des intégrales distinctes de seconde espèce. Convenons de dire que des intégrales de seconde espèce sont distinctes, si aucune combinaison linéaire de ces intégrales n'est de la forme

U et V étant rationnelles en x, y, z.

Le théorème fondamental sur les intéixrales doubles de seconde espèce est alors le suivant :

Il n'y a pour une surface algébrique qu'un nombre limité d'intégrales doubles distinctes de seconde espèce.

Ou encore :

// existe pour une surface algébrique un certain nombre p d^ intégrales doubles distinctes de seconde espèce