Cherchons à cet effet le développement de

pour Y très grand. L'équation F = o peut s'écrire

g(Y,Z)4-Xo,(Y,Z)-... = o,

Ci, Ci,, ... étant des polynômes en Y et Z de degrés m, m — i, . . .. Si l'on pose

on aura

<ï>(r,, r)-+-Xrj*i(r,, Q -i- . . . = O.

Les m racines Ci ? ^27 • • •• ^m de l'équation

SUITE DES I.NTÉGIIALKS DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 2l3

sont distinoles, les axes ayant été choisis arbitrairement. La racine Z devenant é£;ale à T, pour r, = o se développe de la manière suivante :

>j — •zl ''■l'i ■'■2 'i ■ ■ ■ 1

et l'on reconnaît facilement que les a sont des poljnomes en X de degrés marqués par les indices, de sorte que a^ est un polynôme de degré h en X. Nous avons donc pour la branche considérée

= r- aj ^ oc, r -^ . . .

et, par suite.

Soit maintenant

H ( X, Y, Z , = H/, ( Y, Z ) - XH/,, ( Y, Z ) - . . . : son développement suivant les puissances de Y sera de la forme

,ooi'-— Pli'' ■ — ...--jpH ,

3oY/^— 3, Y/^-'^. - o. ^ ^f'^' -^ '^ l'a-

ies |3 étant des polynômes en X de degrés marqués par les indices. De même, le développement de F^ sera de la forme

les V étant encore des polynômes en X de degrés marqués par les indices. On voit alors que, si l'on développe

H(X,Y, Z) suivant les puissances de \ , on a

les 0 étant des polynômes en X tle degrés marqués par les indices.

Le coefficient de

dans ce développement est Op„,^.,.

21^ CBAPITRE VIII.

En revenant à l'intégrale double

■ ""'•^•^>rfx.n-.

une première intégration autour d'un très grand cercle dans le plan de la variable Y nous donne

• '^/'—/ii-t-'î i-i~ r

et, en intégrant cette expression autour de X = o. on obtient zéro.