LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE

I. — Série linéaire de groupes de points sur une courbe plane. Série complète. Somme de deux séries.

J . Soilf(x, y) = G une courbe plane algébrique irréductible.

Un système linéaire de courbes de dimension /* est défini par une relation de la forme

OÙ les 'h sont des fonctions entières de x., y elles h des constantes arbitraires. Nous supposons que les fonctions <l sont linéairement indépendantes relativement à y", c'est-à-dire qu'il n'existe pas entre elles de relation linéaire identique de la forme

(•2) aoJ^o-^ «l'I'i — • • •-^«/■'{^/•= 0/,

6 étant un poljnome, et les a des constantes.

Les courbes -i; peuvent d'ailleurs passer par des points fixes de la courbe /", et l'on peut supposer que ces points sont simples.

Cela posé, l'équation (i) définit, sur la courbe y", une série linéaire de groupes de points g^^. Le nombre n des points est le degré de la série; r est sa dimension.

Le plus souvent, n désigne le nombre des points variables d'intersection. JNIais on peut leur adjoindre un certain nombre de points fixes.

Dans tous les cas, on a évidemment la relation

Il est évident que par /' + i points arbitraires de la courbe /",

(' ) La théorie géométrique des séries linéaires de groupes de points est due à MM. Brill et .Nœther (Math. Annalen, t. VII). Nous avons utilisé aussi dans notre rédaction un Mémoire de M. Segre {Annali cli Matematica, t. XXII; 1894) et un :Mémoirc de M. Bertini (môme Volume).

on ne peut faire passer une courbe (i), car il existerait alors entre les fonctions 'l une relation identique (2).

2. Avant d'exposer les propriétés principales des séries linéaires de groupes de points, montrons qu'une série linéaire quelconque «•^^, définie par le système (i), pe/it toujours être obtenue peuun système linéaire de courbes adjointes o, à /, d'u/i ordre convenable ne dépendant cjue d'un groupe de points de la série, assujetties, s'il est nécessaire, à passer par un certain nombre de points fixes de la courbe f.

Soit G' un certain groupe de o)], déterminé par une courbe -V du système (i). Par G', faisons passer une adjointe :i', ce qui sera toujours possible, si son ordre est suffisamment élevé.

Fig. 4-

Cette coui'be '■:>' coupera encore/, en debors des points multiples, en un certain nombre de points, dont l'ensemble F' forme ce qu'on appelle un résidu. Soit G un second groupe déterminé par une courbe 'i. Envisageons le produit

qui s'annule pour G, G' et F' et qui passe par suite par Tintersection de y et 'V. On aura donc, en appliquant le tbéorème de Nœtlier,

d'où l'on conclut que C2 est une adjointe de même ordre que 'J et qui passe par G et F'. On aura donc, sur la courbe y,

d'où ' ' ' '

et, par suite, le système g'^^, déterminé par (1), est aussi déterminé

LA GÉOMÉTRIE SLR UNE COL'RBi; ALGÉBRlQLi:. 23

par le sjslème linéaire d'adjointes

dans lequel toutes les courbes '^ passent par F'.

3. On dit qLi'une série g',^ est contenue totalement dans Line aulVe g'n lorsqne, 'ayant le même degré /i, tout i,^roupe G' de la première est un groupe de la seconde.

Une série linéaire est normale ou complète lorsqu'elle n'est pas contenue lolalenient dans une série de même degré, mais de dimension supérieure.

Lorsqu'une série n'est pas complète, on désigne sous le nom de défaut àe cette série, la différence entre les dimensions de la série complète et de cette série.

Le théorème fondamental relatif aux séries linéaires est le suivant :

Si une série linéaire n'est pas complète, il existe une série linéaire complète et une seule, de même degré, qui la contient totalement.

En elfet, soit G un groupe d'une série ^'^,, toute série linéaire contenant totalement G est déterminée par un système linéaire d'adjointes, assujetties à couper y, en dehors des points multiples, en un certain nombre de points fixes, le résidu F considéré plus haut.

(^Considérons toutes les adjointes indépendantes passant par F, elles formeront un certain système linéaire de dimension /•'

I S j aoço-r- ='rfi-+-- • --^ '^r''^V—' o,

et de degié n. Ce système détermine une série linéaire g'',', qui contient nécessairement g''^^ et toutes les séries cjui ont avec g^ un groupe conimun, d'où l'on conclut immédiatement le théorème énoncé.

De ce qui précède résulte encore qu'un groLipe arbitraire de n points détermine complètement une série complète, et que le système linéaire de toutes les adjointes d'un ordre donné, assujetties ou non à passer par des points fixes de la courbe /, déterminent sur cette courbe une série complète.

i4 CHAPITRE II.

La démonstration précédente nous indique en même temps le procédé qu'il faudra employer pour reconnaître si une série g''^ déterminée par un système linéaire donné est complète ou non. Il suffira de la comparer à la série déterminée par le système linéaire des adjointes d'un ordre convenable qui passent par le groupe résiduel F de points fixes défini plus haut.

Faisons encore la remarque que le système linéaire de toutes les courbes d'un ordre donné ne découpe pas nécessairement sur une courbe donnée une série complète. On s'en rend compte en considérant par exemple la série déterminée sur une courbe par toutes les droites du plan, et appliquant les considérations précédentes.

4. Si une série complète a des points fixes, la série que C on obtient en retranchant ces points Jixes en partie ou en totalité est encore complète, car si cette série était contenue totalement dans une autre, en ajoutant à cette deuxième les points retranchés, on obtiendrait une série contenant totalement la série proposée.

La réci|)ro(jue de cette proposition n'est pas vraie : Si, à une série complète, on ajoute des points fixes, la série nouvelle peut n'être pas complète . Ainsi, soit une courbe d'ordre m sans singularités; toutes les adjointes d'ordre n <i m — i (qui sont des courbes arbitraires d'ordre n) déterminent une série linéaire com-

|)lète g - . Si, à cette série, on ajoute m points fixes en ligne droite, on obtiendra ime série " - qui ne sera pas complète,

■- m[ii+ 1)1 '

puisqu'elle est évidemment comprise dans la série g - , déterminée par toutes les adjointes d'ordre n -\- i <^, /n.

5. Somme de deux séries complètes. — Soient deux séries complètes g''„\, g'^^ que nous supposerons d'abord telles (pie deux groupes généraux n'ont pas de points communs (fixes, par conséquent). Pour définir la somme de ces deux séries, on prend un groupe G„^ de la première, un groupe G„, de la seconde : ces ni-\-n.2 points forment un groupe G„__^„, qui individualise une série complète, g^^^n. ^\^^ est appelée la somme des deux séries. Elle contient évidemment tous les groupes que l'on peut lormer

1,\ GÉOMÉTRIE «un UNE COUliBE ALGÉBRIQUE. 25

en associaul un groupe arbitraire de la première à un groupe arbitraire de la seconde. Nous exprimerons souvent qu'une série complète est la somme de deux autres par légalité symboliipie

Le cas où il y a des points communs est un cas limite facile à traiter.

Soit, par exemple, à additionner (5^, + i?'^), tous les groupes des séries ^^^ et i?^ ayant un point commun P nécessairement fixe, il faudra, pour définir cette somme, employer des adjointes tangentes en P à f.

Dans le même ordre d'idées, une série normale définie par le point P compté /' fois et par un groupe de points G, sera déterminée par des adjointes passant par G et rencontrant la courbe en /• points confondus en P.

6. Série contenue partiellement dans une autre. — Soit g^] une série linéaire, et G^ un groupe de points {s <i n). Ce groupe sera un groupe partiel de la série, si G^- est contenu dans un groupe G« de points appartenant à g']^. 11 y aura donc au moins un groupe G„5 appartenant à ^-^^ et tel que

Il pourra exister une infinité de groupes G//ç : ils formeront une série linéaire résiduelle de G^ par rapport à g^^. On l'obtiendra en prenant toutes les courl)es du système

définissant ^ï',, qui passent par G^-. Cette série sera complète si la première est complète ; son degré sera égal à n — 5- et sa dimension sera r — p, en désignant parp le noml)re de conditions auxquelles doit satisfaire une courbe du système (a) pour passer par les s points du groupe G^.

7. Etant données deux séries complètes g^^ et ^•',, {n' <i n\ si le groupe général G„' de la deuxième est un groupe partiel de la première, on dira que la série g'„. est contenue partiellement dans la série s^,, .

Soit Gu' un groupe de g''„'; considéroDS la série résiduelle de G// par rapport à ^•']. Nous allons montrer que cette série résiduelle gn-n' est indépendante de G„', c'est-à-dire qu'elle est la même, quel que soit le groupe G„' de g'^, dont on est parti. Cette proposition est une conséquence du théorème du reste. Considérons un groupe de ^'^

'j/; ^= ^ II' '^ '^ll — n'l

formé de Q^' et d'un groupe de gn-n'-

Par G/,, faisons passer une adjointe qui coupera encore / en un groupe résiduel F. La série g\^ sera définie par tontes les adjointes passant par F; la série ^^. sera définie par toutes les adjointes passant par r et par G„/,/; la série g„n' sera définie par tontes les adjointes passant par Y et G,,-. Désignons par fî„ un autre groupe de g^, et par G^„. un groupe arbitraire de gn^u'- H suffira de démontrer que les groupes F, G,',„. et H„' sont sur une même adjointe. Or, F, G„„' et G,,' sont sur une même adjointe; il en est de même de F, Gn-n' et H„', et de F, G,',„. et G»; donc F, G),„. et Wn' sont aussi sur une même adjointe.

II. — Degré et dimension d'une série complète; séries spéciales et non spéciales.

8. Nous nous occuperons en premier lieu du degré et de la dimension des séries complètes déterminées par toutes les adjointes d'un ordre donné et qui, par ailleurs, ne sont assujetties à aucune autre condition.

Soit une courbe /" d'ordre m (avec d points doubles) : nous remarquerons d'abord que la dimension du système linéaire des adjointes d'ordre v est égale ou supérieure à

suivant que les conditions auxquelles la courbe générale du système doit satisfaire pour passer par les points doubles, sont ou ne sont pas indépendantes.

Dans le cas de l'égalité, le système est dit régulier.