Si nous nous rappelons maintenant l'identité I H(X, Y. Z
d rA(X. Y. Z)"| ^ d rB(X, Y, Z)"! ^ £ K(X, Y, Z)
et si nous faisons dans les deux membres l'intégration double précédemment indiquée, les deux premiers termes du second membre donneront zéro, et par suite l'intégrale double
jJ^I<(y^)rfXrfV
sera nulle pour le continuum indiqué. Or sa valeur est précisé-
^^^jp-FR^TYTzy [F(o-Y,Z)=:o],
ment
cette intégrale simple étant prise sur un très grand cercle F dans un feuillet de la surface de Riemann F(o, Y, Z ) =: o. Donc l'expression
F^oJ, Z")
a tous ses résidus nuls pour Y;=x. Par suite, quand on écrira que cette expression est la dérivée d'une fonction rationnelle de Y et Z, ou, ce qui revient au même, quand on écrira que l'intégrale abélienne
mé^)"^ lF(o,Y,Z, = o!
est une fonction rationnelle de Y et Z, on n'aura pas besoin d'écrire ([ue les périodes polaires correspondant aux points à l'infini sont nulles. Il suffira d'écrire que les 2- périodes cycliques sont nulles, ce qui d'ailleurs n'exigera, comme il est Ijien connu, que des opérations algébriques.
8. Le résultat que nous venons d'obtenir aurait pu être démontré encore plus simplement, ou du moins on aurait pu y arriver, en restant dans le même ordre d'idées, sans passer par les développements en séries dont nous avons fait usage. Reprenons l'intégrale
primitive
'P( X. y, z )dx dy
If-
fi
et posons
Aux valeurs X = o, \ = o) considérées tout à l'iieure correspondent (puisque X'^ y' Y' =: ^ j
L'intégrale primitive se transforme en
en désignant par F(X', Y', Z') = (> la nouvelle équation de la surface.
Cette seconde intégrale, prise le long de deux, petites circonférences autour de X'= o, Y'= o, est nulle, puisque l'intégrale
yH,(X\Y',Z')^^, ^p^^.^ - ^,^ ^ ^-j
(1' étant constant et très petit), prise le long d'une petite circontérence autour de X'= o, est manifestement nulle. Or, puisque
aux deux cercles très petits C et C, autour de X'= o, Y'= o correspondent dans le plan Y un cercle très grand, et dans le
2l6 CHAPITRE VIII.
plan X un cercle très petit si les raj^ons de C, et C sont eux-mêmes dans un rapport très petit; nous retrouvons donc le résultat obtenu dans un des paragraphes précédents.
9. On peut encore retrouver à un autre point de vue les sti conditions exprimant que l'intégrale double (i) est de seconde espèce. Si nous envisageons la courbe entre x el z
les périodes de l'intégrale abélienne
^gs ,'P{x,y,z)dar
seront nécessairement des fonctions àe y.
Parmi ces périodes se trouvent les périodes logarithmiques correspondant aux divers points à l'infini de la courbe précédente. Examinons d'abord la nature de ces périodes logarithmiques. Soit prise l'équation de la courbe sous la forme
f,n ( a-, ^ ) + yfm-l ( .r, ^ ) -4- . . . ^- JK'"/o = O,
les f étant des polynômes en x ei z de degrés marqués par l'indice.
Si nous posons
l'équation deviendra
(7) F,„(X, Z)H-7XF,„,(X, Z)H-...-7'"X'"Fo=o.
D'après nos hypothèses sur la disposition arbitraire de la surface par rapport aux axes, l'équation
aura ses m racines distinctes que j'appellerai Z,, Zo, ..., Z,„. La courbe (7) passe, quel que soit j^, par m points fixes
(o, Zi), (o, Z,), ..., (o, Z,„).
Dans le voisinage du point (o, Z/), le développement de Z suivant les puissances de X sera de la forme
les a étant des polynômes par rapport à y, comme le montre
immédiatement le calcul des dérivées successives de Z pour X = o. Si Ton cherche alors le résidu de l'intégrale (6) pour le point (o, Z/), on trouve immédiatement que ce résidu est un polynôme en y. Il en résulte que les périodes logcu^ithmiques correspondant aux points à r injini sont , pour l'intégrale (6), des polynômes en y.
10. Outre ces ni résidus (se réduisant évidemment à m — i), l'intégrale (6) a en général 'ir. périodes cycliques qui sont des fonctions dey, et l'ensemble de ces périodes satisfait à une équation différentielle linéaire E' d'ordre
dont les coefficients sont rationnels en >-. En raisonnant comme à la page g^ du Tome I, on voit de suite que le point y = x) n'est pas un point critique de l'équation E'; toutes les intégrales de cette équation ont ce point comme pôle ou comme point ordinaire. Soit
un système de périodes cycliques. Toutes ces fonctions w à.e y doivent avoir leur résidu nul à l'infini, si l'intégrale (i) est de seconde espèce; dans le cas contraire, en effet, en prenant l'intésrale
dy
autour du point j^ =^ ce, on aurait un résida de l'intégrale double, qui par suite ne serait pas de seconde espèce.
En écrivant donc que les 2- périodes to ont un résidu nul à l'infini, on doit nécessairement retrouver les 1- conditions dont il a été parlé plus haut. On peut d'ailleurs vérifier directement qu'il en est bien ainsi. Si l'on part en effet de la surface
et qu'on fasse
1 intégrale
se transforme en
Vix,y^ z)dx dy
SI
, n(XVilz^^„^v,
2l8 CHAPITRE VIII.
D'après ce que nous avons dit plus haut (il y a seulement permutation de X et Y), l'intégrale double est de seconde espèce si toute période de l'intégrale abélienne
relative à la courbe entre X et Z
a son résidu nul pour Y = o. Mais ceci revient à dire que toute période de l'intégrale abélienne
relative à la courbe entre ^ et ;
(lo) y(,y^-^^)^o^
a son résidu nul pourj>' = x), car les deux courbes (8) et (lo) se correspondent point par point. Nous retrouvons donc bien les conditions déjà trouvées.
Si l'intégrale double
r r?(T,y, z)dTdY
JJ n
était de première espèce, l'intégrale (9) serait une intégrale de première espèce pour la courbe (10) et les m — i périodes polaires seraient nulles.
III. — Des intégrales doubles de fonctions rationnelles de seconde espèce.
11. A la fin du Chapitre ^ II (n" 2o) nous avons dit un mot du cas où l'on considère seulement des intégrales doubles de fractions rationnelles de x ety. D'après la théorie générale, si
(i) f fF(x,y)dxdy,
F étant une fonction rationnelle de a; et y. est une intégrale double
de seconde espèce, on aura nécessairement
•^ ^ dx dy
P et Q étant des fonctions rationnelles de x et j'. On peut en elTel considérer que cette intégrale double est relative à la surface
z = ax -\- by -^ c,
et, par suite, si elle est de seconde espèce, elle peut se ramener par la soustraction habituelle à
