II

p{x,y)dxdy,

p étant un polynôme en x et j', et l'on a bien par suite pour F la forme indiquée.

11 est intéressant cependant de traiter la question à un autre point de vue sans se reporter à aucun théorème général sur les surfaces algébriques, et nous allons nous poser la question suivante ( ' ) :

Quels sont les caractères d'une intégrale double de fonction rationnelle dont tous les résidus sont nuls?

Une question analogue se pose dans les éléments quand, étant considérée une fonction rationnelle d'une variable F(x), on demande à quelles conditions les résidus de l'intégrale simple

F ( x j dx sont nuls. La réponse est alors que

U étant une fonction rationnelle de x.

Nous allons avoir, pour notre problème, une réponse présentant une analogie intéressante avec la question élémentaire cjue je viens de rappeler.

( ' ) E. FicAKD, Sur les intégrales doubles de fonctions rationnelles dont tous les résidus sont nuls {Bulletin des Sciences mathématiques, 1902).

La condition nécessaire et suffisante pour que tous les résidus de Vintégrale double (i) soient nuls est que l'on ait

P eZ Q étant des fonctions rationnelles de x et y .

On aura ainsi en même temps une manière élégante d'exprimer les conditions pour qu'une fonction rationnelle de x et y puisse se mettre sous la forme (2).

12. Il est d'abord très aisé de montrer que la condition est suffisante. On va voir en effet que les résidus de

fm-'^y-'y

sont nuls, P et Q représentant des fonctions rationnelles de x ety. La chose est immédiate pour

JJ^clxdy,

puisqu'on doit prendre d'abord, pour une valeur constante donnée à y^ l'intégrale

ox

le long d'un contour fermé, ce qui donne zéro. En ce qui concerne la seconde intégrale, soit

mx,y)

A^tBl^.-.U

A, B, . . ., L étant des polynômes irréductibles en x et jk? contenant la lettre x\ a, .... A sont des entiers positifs; et désignons par x^ la fonction algébrique de r correspondant à A(a;,, j') = o. Le résidu de la fonction Q de x^ pour x^x^., sera visiblement une fonction rationnelle

de x^ etj>', et le résidu de -y^-, pour .r = ^,, sera

Ua résidu de l'inléi^rale double

par rapport au conLÎnuuni A(j:,,jk) = o sera donc une période de l'intégrale abéiienne

c'est-à-dire zéro.

13. Passons à la réciproque. Il s'agit de démontrer que : Si tous les résidus de Vinté^rale double

ff^

¥{x, y)dx dy sont nuls, on aura

^ -^ <Jx dy

V et W étant rationnelles en x et y.

En posant comme plus haut

AaBhi...U

on peut tout d'abord, d'après les éléments de la théorie des fractions rationnelles d'une variable, mettre F sous la forme

^ -i(.r,.r ) -^(x.y) __ ^ -l{x,y^ ^ ^ ^ A "^ B • • ■ L dJ7 '

les - étant des polynômes en a: à coefficients rationnels en y et y une fonction rationnelle de x et y. Les résidus de F relatifs au continuum A(:z:, j/) ^ o sont les périodes de l'intégrale abéiienne

relative à la courbe algébrique A{x,y) = o. D'après les hypothèses faites, l'intégrale précédente est une fonction rationnelle de X ely, et l'on peut par suite écrire

.,(x.r)rfK„(^^^)^

II étant un polynôme en x, à coefficients rationnels en y.

De là résulte que l'on a

^ dÂ. dH ^ ■^iC-^jJ^) ^H dx t)H dy dx dx dy A^ dx dy dy ôA

dx

Celte identité a d'ailleurs lieu en vertu de la relation A(x ^ y) =-. o . On peut dire par conséquent que le polynôme en x

'•U-^îJ; — (^-^ ^ ~~ dr dy /

est divisible, quel que soit jy, par \(x,y), et nous pouvons écrire l'identité en x et y

/àH dk dU dA\

C étant un polynôme en x, à coefficients rationnels en y. Ceci posé, envisageons l'expression

dx dy\A/ dy dx\A/

1 1 r dP dO 1 . • f

qui est de la lorme 1 ^j comme tout déterminant lonc-

T dx dy

tionnel. D'ailleurs

<^ àU ^dA àH

dx dy dy dx

Si donc nous retranchons U de F, le terme ~ se trouvera

remplacé par

G(a",jK),

ou c est un polynôme en x, qui est par suite de la lorme \- -r— •

Nous avons donc ainsi fait disparaître, par une soustraction d'un terme de la forme voulue, l'expression ^. On fera le même calcul

pour —} • • •■> ~ el finalement nous trouvons bien

^ ' -^ ^ dx dy

V et W étant rationnelles en x et y^ comme nous voulions l'établir.

SUITE DES INTÉGRALES DOUliLIS DE SECONDE ESPACE. 9.9.}

1 i. La recherclie des condillons, pour qu'une fonction rationnelle F(x,y) soit de la forme précédente, se trouve donc ramenée à la i-echerche des conditions pour qu'une intégrale abélienne soit algébrique; c'est un problème classique, sur lequel nous n'avons pas à insister. Le problème proposé se trouve alors très élégamment résolu.

On pourrait traiter la question relative à la fonction F, sans se reporter à la théorie des résidus des intégrales doubles. Le problème paraît en effet tout élémentaire; sa solution directe est cependant moins immédiate qu'on pourrait d'abord le penser. C'est cette solution directe que nous allons maintenant exposer.

Tout d'abord, comme nous l'avons dit plus haut, F peut être

supposé de la forme