AB...L

M étant un polynôme en x^ rationnel en r, et A, B, . . ., L des polynômes en x et r, irréductibles et renfermant x. Soit donc

M (T. y) OV o"'.) ' ' -• A B . . . (. ^ '<)^ "^ Jy '

P et Q doivent devenir infinies pour A :— o, pour B =^ o, ..., Ij = o et peuvent aussi devenir infinies pour d'autres courbes A| =:= o, B, = (), . . ., N, = o.

Je dis d'abord qu'on peut supposer (pie P et Q renferment seulement à la première puissance A, B, . . . L et, s'ils existent, A , , B , , . . . N , .

Supposons en effet que Q renferme A^- (a >- i) au dénominateur; on peut, d'après les éléments, trouver une fraction rationnelle

A'^-i ' •/ étant un polynôme en x, rationnel eni', de telle sorte que

contienne seulement dans son dénominateur A à la première puissance. Or on peut écrire le second membre de {'.V) sous la

P. ET S., II. l5

forme

dx \ ày j ' ày

On a alors une expression de la forme

ôx

ày

où Q, et par suite P, deviennent seulement infinies comme --• Le même raisonnement s'applique à tous les autres dénominateurs. Nous pouvons donc supposer que notre identité a la forme

^'^' AB...L d.T- [aB...LAiB,..

ày

Ai. ..LAiBj...NiJ'

H et K sont des polynômes en x, rationnels en y. Les polynômes au dénominateur sont irréductibles, distincts et renferment x. Nous ne savons rien des polynômes A), B,, . . . , N, , mais on peut heureusement, comme nous Talions voir, les faire disparaître, et c'est là le point essentiel dans la recherche que nous effectuons.

Soit (xo, J^'u) lin point arbitraire de la courbe

Le premier membre de (4) est une fonction holomorphe des deux variables indépendantes ^ et r dans le voisinage de(.ro,jKo)j nous pouvons, dans le voisinage de cette valeur, l'écrire sous la

forme -^> en désignant par cp une fonction holomorphe autour

de (.^05 J'o)- Nous aurons donc

dx V AB...LAi...lN|

ûi7\AB...LA,...N,

Envisageons alors l'intégrale de diOcrentielle totale

AB...LA,....Ni

dx —