AB...LA1...N

' ' àj \

0 r Kix.r)

dj'LAB...LA,...Ni

dlogA, Ox

on voit de suite, d'après ce qui précède, que la fraction rationnelle sous le signe — ne renferme plus A, au dénominateur, et il

in est par suite de même de la fraction rationnelle sous le siiine — On peut ainsi faire disparaître tous les dénominateurs A,, !>,, ..., N, et, par suite, nous pouvons admettre que, dans le -econd membre de (4), les polynômes connus A, B, . .., L figurent seuls au dénominateur.

lo. La question proposée se résoudra maintenant aisément. Désignons par P le produit AB. . .L; nous avons l'identité

__ 0 V\{ix,y)'\ 0 \\s.{x,y)~\

'" ôx i P J ~ dy L p J

226 CHAPITIIE VIII.

OÙ M, H et K sont des polynômes en a;. Soit vie degré de P en a:; on sait que, d'une fraction rationnelle en x

OQ peut retrancher une expression ^ ( V étant un polynôme en r, ici rationnel en y), de telle sorte que, en posant

P dx ^ P '

le degré de K, en x soit au plus v — i . D'ailleurs, par une soustraction analogue, nous pouvons supposer que M est en x de degré V — £ au plus. Par suite, dans l'identité (6), nous pouvons supposer que la fonction donnée M, polynôme en x et rationnelle en jK, est de degré v — i en x, et qu'il en est de même pour les deux fonctions inconnues H et K.

Les inconnues dans l'identité (0) sont alors les coefficients des diverses puissances de x dans H et K. Si le problème est possible, on devra pouvoir choisir pour ces coefficients des fonctions rationnelles dej'.

Or comptons le nombre des inconnues et le nombre des conditions. Nous avons dans H et K un nombre de coefficients égal à 2v. On doit égaler le second membre de (6) à