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Les numérateurs sont de part et d'autre des polynômes de degré 2v — i; on a donc à identifier deux polynômes de degré yv — I, ce qui donne 2V relations entre les 2v fonctions rationnelles inconnues de y. Ces relations constituent un système d'équations difrérentielles linéaires, car les dérivées premières des V fonctions dey se trouvant dans K figurent dans ces relations. On est donc ramené, en dernière analyse, à reconnaître si une équation différentielle linéaire à coefficients rationnels^ en y admet comme solution une fonction rationnelle de y. C'est Li un problème que l'on sait résoudre.

On voit que la solution de la question proposée prend une tout autre forme, en suivant cette voie directe, qu'avec la méthode

SlITE DI<;S INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 227

d'abord indiquée où l'on envisageait les résidus d'une intégrale double : renoncé des conditions se présente sous une forme beaucoup moins élégante.

16. ïl est intéressant de se rendre compte du degré d'indétermination de la solution (H, Ki de Fidentité (6), quand elle est susceptible de solution, en supposant toujours, comme ci-dessus, que H et K sont de degré v — i en x. Avec deux solutions différentes, on peut former une solution, non identiquement nulle, de

l'identité

Alors l'intégrale

est une intégrale de dilTérenlielle totale. Eu posant, comme plus

haut,