P = AB...L

elle est nécessairement de la forme

a log A — ^ log B — . . . ^- À log L.

a, 3, .... A étant des constantes. Inversement, en mettant l'exj)ressiou [)récédente sous forme d'intégrale i j), on aura des valeurs admissibles de H et K.

Il résulte de là que, si l'identité (6) a une solution, cette solution renferme les constantes arbitraires a, 3, . . ., )> en nombre égal à celui des facteurs irréductibles de P.

IV. — D'une difficulté qui se présente quand on veut exprimer que des intégrales doubles de seconde espèce sont distinctes.

17. Nous avons dit que des intégrales doubles de seconde espèce relatives à une surface algébrique sont distinctes, quand il n'existe pas de combinaison linéaire à coefficients constants de ces intégrales qui soit de la forme

(■) f f ^'tt- ---^ '"'■^'''

228 CHAPITRE VlFf.

U et V étant rationnelles en x^j et c. Il serait donc facile de reconnaître si des intégrales doubles de seconde espèce sont distinctes, si l'on savait résoudre le problème suivant :

Reconnaître si une intégrale double (2) / j Y{(x,y.z)dxdy

est de la forme ( i ), ce qui revient à reconnaître si Von a

^ ^ ^ -^ ôx dy

R étant une fonction rationnelle donnée dex, y et z; les âeus. fonctions U et \ doivent être rationnelles en x, y et z.

18. Nous avons vu que le problème précédent pouvait être facilement résolu, si l'on est dans le champ rationnel, c'est-à-dire si R est simplement fonction rationnelle de x et j', les fonctions L et V étant aussi des fonctions rationnelles de x ely. C'est le problème traité dans la section précédente; ce qui nous a permis de résoudre assez facilement ce problème, c'est que, dans l'identité

R{x,y) = — ^ — , •^ âx rjy

on a le droit, com?iie nous l'avons montré, de supposer que U et V n'ont d'autres lignes d'infiui que celles de R, à l'exception toutefois de lignes correspondant à y = const. Nous avons pu alors limiter la manière dont x figure dans U et V, et des opérations en nombre fini nous ont montré si le problème était ou non possible.

Les circonstances sont tout autres dans le cas d' une surf ace algébricjue. Il peut n'être pas permis de supposer que, dans l'identité (3), U et V n'ont d'autres lignes d'infini que celles de R, en dehors de lignes correspondaut à y = const. C'est ce que nous allons montrer sur un exemple (' ).

Nous avons d'ailleurs déjà, dans un autre but, parlé de cet

(') E. PrcARD, Comptes rendus, oclobre 1899.

SUITE DES INTÉGKALt'S DOLBLES DE SECONDE ESPfcCE. ^29

exemple (page 198 de ce volume). KeporLons-noiis à l'identité de la page 199

'J r P(x) 1 or IN)

^ ûx L ( )- — .r ) ^ Oj [ ( .r — ^

où U(,r, y) est un polynôme en x et y, et où

i\x) désignant un polynôme arbitraire ayant des racines distinctes a,, a-j, . • -, «/z- Nous allons montrer qu'on ne peut avoir une identité de la forme

en représentant par - et -, des polynômes entiers en x, à coefficients rationnels en j'. Considérons en efifet, comme nous l'avons fait pages 199 et 200, l'intégrale double

ff

dx dy.

j)rise le long d'un cycle à deux dimensions formé par une courbe fermée C du plan de la variable x qui comprenne à son intérieur deux des points «, et par une courbe fermée C analogue dans le plan de la variable y, et supposons que nous soyons dans le cas de la figure de la page 200; dans ce cas l'intégrale double a une valeur différente de zéro. Or si nous avions l'identité (5), l'intégrale serait nécessairement nulle (en évitant toutefois de faire passer le contour G' par une valeur dey rendant infini tc ou tc,). En effet, chacune des intégrales

se calcule immédiatement; car, tous les éléments restant finis dans les deux intégrales sur le domaine d'intégration, on n'a qu'à faire une première intégration, par rapjjort à x pour l'une et par rapport à y pour l'autre, et l'on obtient ainsi zéro. Il est clair <[ue nous ne pourrions pas raisonner de la même manière en nous reportant à l'identité ('4)- c'est, au surplus, ce qui est exposé avec détails pages 199 et sui\antes.

Dans l'identité (5) nous avons supposé que les fonctions sous les L de la r

siffnes — et -— étaient de la lorme

On aurait dû, d'une manière plus générale, les supposer de la forme

-^ ii'ix, y")

tJ et Tï'j étant des polynômes en x, à coefficients rationnels en j', mais il est manifeste que l'idenlilé

lUx, y]

d V — ( X , y ) (Jx ^S

■'(>•, jk)

ày

entraîne nécessairement

Ot.

dx

On voit, par ce qui précède, la difficulté qui va se présenter, quand il s'agira d'évaluer exactement le nombre des inlégrales doubles distinctes de seconde espèce. Nous verrons bientôt comment cette difficulté se rattaclie à une question très importante concernant les intégrales de difTérenlielles totales de troisième espèce; c'est de l'étude de ces dernières inlégrales que nous alloùs maintenant nous occuper.

I. — Théorème fondamental sur les intégrales de différentielles totales de troisième espèce ( ' i.