Considérons une surface algébrique

n'ayanl que des singularités ordinaires et n'occiipanl pas de position spéciale par rapport aux axes de coordonnées. Nous allons étudier les intégrales de différentielles totales de troisième espèce relatives à celle surface.

Si Ton envisage un certain nombre u. de courbes algébriques irrédut;libles sur la surface, il est possible qu'il n'exisle pas d'inlégrale de troisième espèce avant seulement comme courbes logarithmiques ces a lignes ou quelques-unes d'entre elles, mais nous allons montrer que celle circonslance ne se présentera pas si y. dépasse une certaine limite dépendant uniquement de la surface.

Une courbe C de la surface peut en général être définie par les

deux équations

^ — R( .r, jK >•

A désignant un polvnome irréductible, et K une fraction rationnelle de X el y\ le cylindre

( ' ) E. Picard, Sur les intégrales de différentielles totales de troisième espèce dans la théorie des surfaces algébriques {Annales de l'École Normale, 1901).

coupe la surface y suivant la courbe C et une ou plusieurs autres courbes. Celles-ci ne doivent pas être des courbes logarithmiques.

2. Considérons sur la surface /de degré m une courbe C de degré c^ définie par les deux équations précédentes. Envisageons la famille de courbes définie par la relation entre x ei z

où r représente un paramètre arbitraire; on peut former une intégrale abélienne relative à cette courbe jouissant des propriétés suivantes : Elle n'a d'autre points singuliers à distance finie que les points (:;, .r) de la courbe correspondant aux équations

et la période polaire correspondant à chacun de ces points singuliers logarithmiques est égale à + i • De plus, relativement aux m points de la courbe à l'infini (pour lesquels les m développements sont distincts '"), l'intégrale a seulement comme point singulier logarithmique l'un d'entre eux, et la période correspondante esl égale -à ^ d\ enfin, elle est de la forme

(1) /s(.r, j', z) f/ar,

S étant une fonction rationnelle de x, y et c.

On se rend compte aisément qu'il est possible de satisfaire aux diverses conditions qui précèdent. On peut, par exemple, procéder de la manière suivante. Soient

M„ M,, .... Ma

les d points de la courbe C pour une valeur donnée de j', et désignons par M le point à l'infini de la courbe (i) qui doit être pouil'intégrale un point logarithmique.

Formons une intégrale de troisième espèce de la courbe

C) On se reportera au Chapitre précédent ( n° 9); les m développements de z suivant les puissances de x ont pour coefficients des polynômes en y.

ayant les points logarithmiques

M, et M

avec les périodes polaires respectives

^ r el — I :

on peut s'arranger de manière que les coefficients de cette intégrale soient fonctions rationnelles de y et de ( z/, Xi). En faisant la somme de ces intégrales pour

on obtiendra une intégrale du type cherché T.

Ceci posé, si la courbe (i\ entre a^ et :; ( pour jk arbitraire), est de genre/?, l'intégrale I a. outre les périodes polaires provenant des singularités logarithmiques, ip périodes cycliques que nous désignerons par

de telle sorte que l'ensemble des périodes de I est

\i) CO,, OJ.,. ..., t02/,, I.

Elles sont, sauf la dernière, des fonctions de r. Nous avons supposé que X avait une valeur fixe, d'ailleurs arbitraire. Si l'on fait varier y et qu'on revienne au point de départ, l'ensemble des périodes ( 2 ), pour un contour déterminé, se transformera en

et l'on aura la substitution S

les m et les a étant des entiers. Les m des ip premières colonnes ne dépendent nullement de la courbe C, c'est-à-dire du polynôme A et de la fraction rationnelle R. Ils sont les mêmes que ceux, que nous aurions obtenus si, au lieu de considérer Tinté-

— ni\ M-,-^ .

.^ nihpMop— ;jt.',

lOj -= ni] coi -

— ni l eu 2 -^ ■ .

.-^ nil,,W2p — 'X-,

(à'j^i,= ni\''iM\ -

— ni\i' LOj,-T- .

.— /7i|/Jw./,— [x^r

234 CHAPITKE IX.

grale 1, nous avions pris l'intégrale de seconde espèce

relative à la courbe (\\ comme nous l'avons fail, Tome ], page 94 ; les

;»',, 7?? 2, .... »>'ii) ( i ^= i, ■>,... . ip I

sont les mêmes que ceux de la substitution S de la page gg {^loc. cit.). Au contraire, les jj.' dépendent essentiellement de la courbe C.

Les points singuliers des lo considérés comme fonctions de r ne dépendent nullement de la courbe C; c'est là un point très important pour la suite. Ces points singuliers ne peuvent être, en effet, d'une part, que ceux correspondant aux valeurs de y pour lesquelles le genre de la courbe

s abaisse, d'autre part, que ceux correspondant aux valeurs de r pour lesquelles un des points logarithmiques se confond avec un point critique de la courbe. Les premiers sont les points critiques de l'intégrale (3), les seconds ne sont pas en réalité des points critiques. Car, soient a^, «o? <^3j -••• les points critiques de. la courbe (4), et b un point singulier logarithmique; b et les a dé-

ris.

pendent de y, et l'on suppose que, pour une certaine valeur a de y, le point b coïncide avec le point «,. Soit to une période correspondant à un contour F et enveloppant par exemple trois points «; à une petite courbe autour du point logarithmique ^correspondra la période polaire --f- i. Quand )■ tourne autour de a et

i.XTÉGRALES DlC DIFFÉKIiMIELLES TOTALKS I)K TROISIÈME ESPÈCE. 9,35

revient à sa position initiale, il faut monlrer cjiic o) revient à la même valeur ; ceci est immédiat, puisque la période to -i- i , correspondant à un contour qui entoure les quatre points r/j, «o, r/.. et />, ne change pas quand y tourne autour de a.

Les substitutions S, faisant connaître l'ensemble des valeurs des w pour toutes les circulations de y autour des divers points critiques, sont donc en un certain nombre A" indépendant de la courbe C.

3. Ces résultats obtenus, considérons maintenant ip intégrales distinctes de seconde espèce fi, lo, . . ., lop de la courbe

en désignant par/) le genre de cette courbe, pour y arbitraire. Soient aussi A courbes (Jl|, Co C>. et formons A intégrales

du type I, relatives respectivement aux courbes (1|,C2, C:, , . . . . C) . (Cherchons à déterminer, s'il est possible, les fonctions rationne Lit s de jK

et les constantes C|, c^, • • • , c>. de telle sorte que l'intégrale abélienne, relative à la courbe (i)

(.i) «il, -i-. , . — a-iplip — CiJ,-T-. . .— cxJ),,

ail toutes ses périodes indépendantes àey.

Il en est bien ainsi pour les périodes polaires. Pour les périodes cycliques, il n'en sera pas ainsi, en général. Désignons par

K,, Ko, ..., Ko/,,

les périodes, supposées indépendantes de )', correspondant aux 2p cycles initiaux, pour lesquels nous avons les substitutions fondamentales, désignées d'une manièi'e générale par S. Supposons que celte substitution S soit relative à la modification des périodes de Ji pour une certaine circulation de j' ; avec la même circulation de j>', on aura la même substitution pour Jo, . . . , J> , sauf (pie les 'j.se trouveront remplacés par d'autres entiers v. ...,?:.

236 CHAPITRK IX.

Dans ces conditions, on devi-a avoir, puisque l'on suppose que ]es K ne dépendent pas de j',

(i = I, 2, ...,ip).

On aura 2/? relations analogues pour chacune des k substitutions fondamentales du type S.

Ceci posé, admettons qu'on puisse trouver ip — h constantes

Kl, Ko, ..., kj/,, c,, C2, ..., c),,

non toutes nulles, et satisfaisant auK 'iph relations qui viennent d'être écrites : Nous allons montrer qu'on pourra alors former une intégrale de différentielle totale ayant précisément les périodes précédentes. C'est, comme on voit, la généralisation de l'analyse développée (t. I, p. 98), pour étudier les intégrales de différentielles totales de seconde espèce.

4, Ecrivons, en effet, que les périodes de l'intégrale

rti II -T- aol? -r-. .. ^- a-ipl-ip -^ Cl J| — . . . — ex J),

correspondant aux ip cycles initiaux, sont égales aux constantes K), K2, .-., Ko;,. Nous aurons ainsi "ip équations qui vont déterminer

il faut montrer que les a ainsi déterminés sont des fonctions

rationnelles de y. Désignons par E, , Ej Eo,, les premiers

membres de ces équations, nous aurons

il suffît de faire voir que ce système d'équations reste invariable quand on fait décrire à y un contour fermé quelconque, par exemple le contour auquel correspond la substitution S. Or, ces équations deviennent

in\ El ■+- /?i| E2^.. .—m^ /,£,/, -.- Cl a*') -^c^vli^ —,^c;tS^^ = K,, m\ E,^/n^ E., — . . .-(-/?i^',,E,/, -^ C| ui2) ^c.,v(2) .-... -^ Q-â^^) = K.,

svslème équivalent au système

El = Kl, Eo -- K2, . . . , E2/, — K2/,,

craprès les équations que nous supposons vérifiées par les constantes K etc.

Nous avons donc obtenu une intégrale de troisième espèce, relative à la courbe entre x et ;

dont les périodes cycliques et polaires

K]. Ko, ..., K.2^,, Cl. C2, ..., c\, sont indépendantes àe y\ désignons cette intégrale par

j\\{.rj,z)d...

5. Il va être facile maintenant de former une intégrale de différentielle totale de troisième espèce, relative à la surface

ne pouvant avoir d'autre courbe logarithmique que les courbes

Cl, Go, . . . , Gx,

avec les périodes polaires correspondantes

Cl, Co. . . , ex,

et peut-être, en outre, la courbe à l'infini de la surface. On va voir, en effet, qu'on peut déterminer une fonction rationnelle S(^x,y^ :•) telle cpie l'intégrale

j?K{x,y, z)dx -^ 'è{x, y, ~)dy

satisfasse à ces diverses conditions.

La fonction S (.r, y, s), considérée comme fonction de x etjK, doit vérifier la condition

^ cm dx dy

On y satisfera de la manière suivanle : Soit x^ une valeur fixe arbitraire et désignons par z^, z-,^ ■ , z^ les m racines de l'équation

f{Xo,y, z) = o (m étant le degré/).

Posons

j R(x, y, z) dx -^ . . .-^ I R{x,f,z)dx

S, ainsi déterminée, a une valeur unique en chaque point (.zrjjK, z) de la surface, puisque les périodes des intégrales ne dépendent pas de y. Par suite, cette expression sera une fonction rationnelle de (.r, j)', 5 ). car les points singuliers de cette fonction ne peuvent être des points singuliers essentiels. De plus, on voit immédiatement que

dR

âS J d dx m dy

comme il doit être.

inK( x,y, ^)| =

ày

Nous avons donc une intégrale de diftérentielle totale

R dx

Sdy,

où R et S sont rationnelles en x, y et z.

L'intégrale précédente ne pourra visiblement avoir d'autres courbes logarithmiques que les courbes

Cx,

la courbe à l'infini sur la surface, et peut-être aussi des sections planes de la surface correspondant à des plans

y = const.

Il serait aisé d'établir cju'il n'y a pas de lignes logarithmiques de cette dernière catégorie; il suffirait, pour cela, de répéter le raisonnement fait pages io4 et io5 du Tome I, pour une circonstance analogue, mais il est inutile d'insister sur ce point, car si la section

donnant dans la surface une courbe indécomposable fce qu'on

peut toujours supposer, |)uis(|iie les axes sont arbitraires), était une courbe loo^arithmique avec la période correspondante B, il suffirait de retrancher de notre intégfrale

■ . loi; t y — fj )

pour avoir une intégrale possédant la propriété voulue.

En résumé, si les constantes K et c satisfont aux o-pk relations à coefficients entiers du n" 3, nous pouvons former une intégrale de différentielle totale

H (Ix ^- S dy

ayant les 2/? ^ /> périodes

Kl, Ko. .... .... K2/,, C|, c-,, .... Cl,

les ). dernières étant des périodes logarilhmiques correspondant aux courbes données à l'avance

G], Go. . . . , C>..

Certaines quantités c peuvent être nulles, auquel «as il n'v aurail pas de courbe logaritfimique correspondante. Si tous les c étaient nuls, nous aurions une intégrale qui ne pourrait avoir d'autre courbe logarithmique que la courbe à l'infini de la surface /"; mais une intégrale ne pouvant avoir une seule courbe logarithmique, notre intégrale n'en aurait alors aucune ;, et nous aurions alors une intégrale de seconde espèce, conclusion qui est bien d'accord avec notre théorie des intégrales de seconde espèce.

0. Au point de vue des possibilités qui peuvent se présenter pour une surface donnée, quelques observations intéressantes sont à faire. Désignons, d'une manière générale, par relations {y.) les -2pk relations du n" 3. Envisageons sur la surface une courbe algébrique irréductihle quelconque C, ; il jieut arriver, ou non, que les équations (a) correspondant à la seule courbe C, soient vérifiées pour une valeur de c, dilî'érente de zéro. Dans le i)rcinier cas, on aura une intégrale de troisième espèce ayant pour courbes logarithmiques la courbe C) et la courhe à l'infini; dans V. ET S., II. 16

le second cas, il n'y aura pas de telle intégrale. Si l'on est dans ce second cas, envisageons, outre C), une seconde courbe algébrique irréductible quelconque Co, et concevons les équations (a ) relatives aux deux courbes C| et Co. Deux cas peuvent encore su présenter : il peut arriver ou non qu'on puisse satisfaire à ces équations, sans que Co soit nul. Dans le premier cas il y aura une intégrale de troisième espèce avec les deux courbes logarithmiques C) et Ca et peut-être la courbe à l'infini ; il est visible que c, aus>i ne sera pas nul. Dans le second cas, il n'y aura pas de telle Intégrale. On peut ainsi continuer, mais non pas indéfiniment, car lorsque X est assez grand, on pouri'a manifestement satisfaire aux équations (a), sans que tous les c soient nuls.

Dune manière plus précise, supposons que pour A courbes

Cl, Co. C).,

il ne soit pas possible de satisfaire aux équations (a) sans que C(, c-2, ' ' ■ ■ Cl soient nuls. Considérons une À -j- i"^™' courbe arbitraire C),^) de la surface et formons les équations (a) relatives à Cl, Co, . . . , C)^., ; si ). est assez grand, il arrivera que ces dernières équations pourront être vérifiées sans que Cx^, soit nul. En efTet, pour À assez grand, les équations (a), dont le nombre ipk ne dépend pas de A, peuvent être vérifiées pour des valeurs des K et des c, les c n'étant pas tous nuls; d'autre part, pour les équations (a) relatives à C,, Co, . • • , Cx+i on ne peut avoir C), , =:: o, car alors les équations (aj relatives à C|, Co, . . ., C) pourraient être vérifiées, C|, Co, . . . , c\ n'étant pas tous nuls. Nous aurons donc alors une intégrale de troisième espèce ayant certainement pour courbe logarithmique C),+, et de plus quelqu'une ou la totalité des courbes C,, C2, • • -, Cx et de la courbe à l'infini. Ceci nous conduit au théorème suivant :

On peut, sur une surface f, tracer a courbes algébriques irréductibles particulières

Cl; Co, • • • , C).

telles quil n^ existe pas d'intégrales de différentielle totale de troisième espèce ayant seulement pour courbes logarithmiques une ou plusieurs de ces courbes C et de la courbe à l' infini, mais

INTÉtiRALES I)K DIFFÉRI-.N TU' LI.KS TOTALES DE TU01Sli:.Mi: KSl'KCE. 2^1

telles que, si Von envisage une a -f- i "-''"'' courbe iirbilraire C)^,, il existera une intégrale de troisième espèce ayant seulement pour courbes logarithmiques la courbe C).^) et la totalité ou une partie des courbes C|, . . .. C>, et de la courbe à l'infini.

Nous pouvons modifier renoncé, de manière à ne plus avoir à parler de la courbe à l'infini. Supposons que, pour C).j.| arbitraire, l'intégrale I dont il vient d'être question admette la courbe à l'infini comme courbe logarithmique. En jirenant une autre courbe C)^i, nous aurons une intégrale T, ayant pour courbe logarithmique C)^, et la totalité ou une partie des Ci, Co. . . . , C),, et de la courbe à l'infini; on peut évidemment choisir la constante A

de manière que l'intégrale