J- AI

n'ait pas la courbe à l'infini comme courbe logarithmique. Cette considération conduit au théorème fondamental que nous avions en vue.

Sur la surface f, à singularités ordinaires, on peut tracer 0 courbes algébriques irréductibles particulières

telles quil n'existe pas d' intégrale de différentielle totale de troisième espèce, ayant seulement pour courbes logarithmiques la totalité ou une partie de ces courbes C, mctis telles qu'il existe une intégrale ayant seulement pour courbes logarithmiques une p -f- i"^'""^ courbe quelconque F de la surface, et la totalité ou une partie des courbes C.

7. Les déductions du paragraphe précédent supposent que toutes les intégrales de différentielles totales peuvent être obtenues par des combinaisons analogues à celles du n° 3. On se rend compte aisément qu'il en est bien ainsi. Soit

dx — ^dy

une intégrale de troisième espèce ayant seulement pour courbes logarithmiques les lignes

Co,

de degrés r/,, do, •••. d^ avec les périodes logarithmiques C(, Co, • . . . Cp.. On aura Ja relation

C] f/) -H Cofl^a -T- ■ • • - Cu,c?u. = o. En désignant par

.1,. J.,, .... Ja

les intégrales formées avec ces courbes comme au n° 3, la diiTérence

( X. y, z ) dx — CiJi — ... — CjjJjj. est une intégrale de seconde espèce relative à la courbe

/[-P,!- -' = o; elle est donc égale à une expression de la forme

c/i II— . . .— «2/-I2/M

|)lus la dérivée par ra|)porL à x d'une fonction rationnelle de x, j-, z. Nous avons donc la forme envisagée au n° 3, et la démonstration du théorème fondamental est maintenant complète.

8- D'après sa nature même p est au moins égal à un. L'analyse quenous venons de développer pour établir l'existence de ce nombre en donne une limite supérieure mais ne donne pas le moyen de le calculer complètement. La recherche précise de ce nombre paraît, d'une manière générale, devoir être assez difficile, car elle est liée à l'étude des courbes algébriques tracées sur une surface donnée; c'est en ce point que notre étude n'est pas complète. Nous examinerons plus loin quelques exemples assez étendus.

Pour deux surfaces qui se correspondent birationnellement, le nombre p n'a pas nécessairement la même valeur. C'est seulement quand la correspondance entre les deux surfaces ne présente pas de po\n[s, fondamentaux et de courbes exceptionnelles qu'on peut, d'une manière générale, affirmer l'invariance du nombre p : il est clair alors qu'à une courbe C de la surface S on peut faire correspondre une courbe C de la surface S', et que le nombre des lignes est le même de part et d'autre. Il peut en être autrement quand il y a des courbes exceptionnelles, parce qu'à une courbe logarithmique C passant par un point fondamental peut corres-

[)Ondre, oulre la courbe C, la courbe exceptionnelle transformée (lu point fondamental; il y a alors sur S' deux courbes logarithmiques correspondant à la courbe logarithmique G de S. On le voit Lien nettement de la manière suivante. Soit x=^o,y^=o le point fondamental sur S; la transformation de S en S' se trouve définie (p. 85 de ce Volume) par des équations de la forme

X = S(x', y' ), y — Si x', y ) P(x'. y' ),

la courbe S(.r', 7') = o correspondant sur S' au point x^=.o^ y == o. Soit sur cette courbe un point i a, j^ ) pour lequel Pia, 3) a la valeur m^ nous pouvons supposer ([ue S et P sont holomorphes autour de x' ^^ a, i'= 3, La fonction

logir — DIX) se transforme en

I og S ( ^', y' ) H- I og [ P ( a-', y 1 — m \ : elle a pour courbes logarithmiques les deux courbes

S{x' . y' \ = o et P(.r', y' i — ■ m ^ o, passant au point i a, [ii ).

9. Faisons encore une remarque générale (').On sait qu'il y a dans la théorie des surfaces algébriques de nombreux problèmes où la présence de courbes exceptionnelles vient amener des complications; nous l'avons vu notamment dans ce ^ olume en étudiant les systèmes linéaires de courbes tracés sur les surfaces. Un théorème, récemment démontré par MM. Castelnuovo et Enriques Annali dl Matematlca, t. Yl, 3^ série), est de grande importance : d'après ce théorème, dans loale classe de surfaces se correspondant birationnellenient il existe des surfaces sans courbes exceptionnelles (-), en laissant de côté toutefois les classes qui comprennent des surfaces réglées.

Dans le problème qui nous occupe, le nombre p sera évidem-

(' ) E. Picard, Sur la transformation des surfaces alfçébriques {Comptes rendus, l. CXXXIV, 1902).

(-) Pour une telle surface î^, la correspondance birationneile entre S et une surface quelconque S de la classe se fait de telle manière qu'il n'y a pas de courLc (le £ correspondant à un point de S.

ment le même pour toutes les sui'faces de la classe n'ayant pas de courbes exceptionnelles.

Le nombre o relatif à ces surfaces sans courbes exceplionneiles est donc un nombre invariant pour la classe de surfaces algébriques considérées.

II. — Sur les surfaces pour lesquelles toutes les intégrales de différentielles totales sont des combinaisons algébrico-logarithmiques {').

10. Nous avons vu dans le Tome I que, pour une surface algébrique dont la connexion linéaire /?( est égale à un (ce qui est le cas général), toutes les intégrales de différentielles totales de seconde espèce sont des fonctions rationnelles de x^ y et z. La question se pose alors de savoir si, poiii- une telle surface, toute intégrale de dilTérenlielle totale ne serait pas une combinaison algébrico-logarilbniique, c'est-à-dire une expression de la forme

(i) - A/.. logR/, (.r, jK, - j— Vix, k, ;; ),

les R et P étant des fonctions rationnelles de x^ y et:;, et les A des constantes. En fait, les seuls exemples connus de surfaces avant des intégrales qui ne soient pas de cette forme correspondent à y?, > r ; mais, malheureusement, nous ne sommes pas en mesure de répondre à la question posée. Nous allons seulement démontrer une propriété curieuse des surfaces dont toutes les intégrales de différentielles totales ont la forme précédente.

11. Soit donc une surface /", pour laf|uelle toutes les intégrales de différentielles totales sont par bvpoihèsede la forme ci-dessus.

Soient

C,, C. Cp

les p courbes du théorème démontré dans la section précédente et r une courbe irréductible quelconque tracée sur la surface. 11 existe, d'après ce théorème, une intégrale de différentielle totale

( ' ) E. Picard, Sur quelques points fondamentaux dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables (Acta mathematica. t. XXVI).

INTÉGUALES IJI- DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE TROISIÈME ESPÈCE. a^O

ayant pour courbes logariLlimiqiics la courbe F et lalolalilé ou une partie des courbes C Celle intégrale est de la forme ' i); on peut supposer tout d'abord que les termes logarithmiques sont réduits à leur moindre nombre, c'est-à-dire qu'entre les A. on n'a pas de relations

les m étant des entiers qui ne sont pas tous nuls. Il est clair en effet que, si l'on avait une telle relation, ou pourrait réduire l'expression à avoir un terme de moins. Soit, pour fixer les idées, une relation entre trois coefticienls Ai, Ao, A^ ; on pourra écrire

On a donc

A: logR, ^ A, iogR. - A3 logRa - A, log ( Ri -jr^ ) -^ A, loo( R, ll^ ) ,

et il y a, par suite, une réduction dans le nombre des logarithmes. Les logarithmes ayant été ainsi réduits au moindre nombre, si l'intégrale se réduit à

X A/, IogR/,(a7, y, z 1 -r- P(>, jk, - ',

on est assuré que les fonctions rationnelles R n'auront d'autres lignes de zéros et d'autres lignes d'infinis que les courbes G et la courbe Y.

Si, en effet, une des fonctions R s'annulait le long d'une autre ligne A, comme celle-ci n'est pas une courbe logarithmique de l'intégrale, il faudraitque d'autres fonctions rationnelles R (une au moins) devinssent nulles ou infinies le long de ), ; et en écrivant que la ligne A n'est pas une courbe logarithmique pour la somme, on obtiendrait une relation homogène et linéaire à coefficients entiers entre les A, contrairement à ce que nous avons supposé.

Une des fonctions R, au moins, est nulle ou infinie le long de F, et elle a comme autres lignes de zéros et d'infinis la totalité ou une partie des courbes G, avec des degrés quelconques d'ailleurs (entiers) de multiplicité. Ainsi, étant envisagées les courbes

G], Co, .... C5,

cl une courbe irréductible arbitraire F. il existera certainement

une fonction rationnelle n'ayant d'autres lignes de zéros et d'infinis que la courbe F et la totalité ou une partie des courbes C. Ajoutons que cette fonction sera unique, ou, plus exactement. deux fonctions rationnelles H. et R' possédant cette propriété sont telles que deux de leurs puissances entières convenables sont dans un rapport constant. Supposons, en effet, que R ail F pour ligne de zéros d'ordre u., et que R' ait la même courbe pour ligne de zéros d'ordre ;j.', le quotient

ne pourra avoir d'autre ligne de zéros et d infinis que Ci , Co. ■ • ■ , Gp. Ce quotient se réduira à une constante, car autrement la

fonction