RH-' ^ R
pourrait être mise sous la forme d'une intégrale de différentielle totale de troisième espèce qui n'aurait pas de ligne logarithmique en dehors de Ci, Go, .... Gp, ce qui est impossible d'après les propriétés de ces courbes G.
12. Ges points établis, prenons sur notre surface p -^ i courbes irréductibles entièrement arbitraires F,, F^, ..., Fp^,. On peut, d'après ce qui précède, former une fonction rationnelle R| ayant pour ligne de zéros la courbe F, et pour lignes de zéros et d'infinis la totalité ou une partie des courbes G. Soient de même Ro. • • • . Rp+i des fonctions rationnelles correspondant à F^, ..., Fp(., ; formons le produit
F = R^'R^-... R^tT.
où les a sont des entiers positifs ou négatifs. On peut choisir ces entiers (non tous nuls) de manière que, pour la fonction rationnelle F, les courbes G ne soient plus ni lignes d'infini ni lignes de zéros. La fonction F, ainsi obtenue, ne se réduira pas à une constante, et elle aura pour lignes de zéros et lignes d'infinis la totalité ou une partie des courbes F.
Nous sommes donc ainsi conduits à la conclusion suivante, qui est assez curieuse : étant prises sur la surface p — i courbes algébriques irréductibles arbitraires, il existe une fonction rationnelle s' annulant le Ions de certaines de ces courbes et devenant
INTÉGRALKS DK niKFI^MtEXTIELLKS TOTALKS I)K TROISIÈME ESPÈCE. 2^7
infinie le long des autres (avee des degrés convenables de multiplicité ) et n'ayant aucune autre ligne de zéros ou d'infinis.
11 est bien entendu qu'il saisit ici d'une surface dont, par hypothèse, toutes les intégrales de difTc'rentielles totales se ramènent à des combinaisons algébrico-logarithnii(|ues.
Pour les courbes algébriques il n'existe évidemment pas de proposition analogue, dans laquelle les courbes Y seraient remplacées par des points; pour une courbe algébrique non unicursale on ne peut évidemment pas trouver une fonction rationnelle des coordounées dont les pôles et les racines seraient compris parmi un certain nomi)re de points arbitrairement donnés, les degrés de multiplicité n'étant d'ailleurs pas fixés à l'avance.
13. Les résultats précédents conduiraient donc plutôt à penser que les intégrales de différentielles totales de troisième espèce ne se ramènent pas e/i général pour une surface algébri(|ue à des combinaisons algébrico-logarilhmiques, mais, comme nous l'avons dit plus haut, nous ne |)Ouvons pas indiquer de surface, de connexion linéaire égale à l'unité (c'est-à-dire sans intégrale de différentielle totale de seconde espèce), possédant nne intégrale de troisième espèce qui ne soit pas du Ivpe algébrico-logarithmique.
Indiquons seulement pour le moment un exemple d'une surface, dont toutes les intégrales de différentielles totales se réduisent à des logarithmes.
Il sera fourni par la surface célèbre du quatrième degré qui porte le nom de Kamnier. M. Humbert a démontré, au sujet de cette surface, une proposition très élégante ( ' ) : toutes les courbes algébriques tracées sur celte surface sont de degré pair, et si ini désigne le degré d'une telle courbe, on peut le long de cette courbe circonscrire à la surface une surface de degré w, ne la coupant pas en dehors de la courbe considérée. Ici le nombre p des énoncés précédents est égal à un\, de plus, si l'on prend sur la surface deux courbes algébriques quelconques
Ti et r,,
(') G. HuMBEKT, TIléorie générale des surfaces liyperelliptiques {Journal de Maltiématiques, i8g3, p. 72).
il existera une intégrale de troisième espèce, ayant ces deux seules courbes logarithmiques, et réductible à un logarithme. Si, en effet,
fi{.r^y,z)-~-^o et /o ( .r, x, :; ,) = o
représentent les deux surfaces de degrés m^ et m.y donnant les deux courbes d'après le théorème de M. Humbert, la fonction
peut être regardée comme une intégrale de troisième espèce possédant la propriété demandée.
