III. Quelques cas particuliers
14. Les considérations générales développées plus haut, pour une surface n'ayant que des singularités ordinaires, s'appliquent avec des modifications peu im[)ortantes aux surfaces données par les équations de la forme
où y est un polynôme en x et y.
Toute intégrale de différentielle totale relative à cette surface est, en dehors d'une intégrale de fonction rationnelle, de la forme
R dx -^ S dy
II, S et M étant des polynômes en x ely. Des réductions simples (t. I, p. 168) permettent de la ramener à
R rt'.r — S d\
yy)\B...L^f{x,y
X(y) étant un polynôme en y, et A, B, . . ., L des polynômes en x ely irréductibles et premiers avec f{x, y). De plus, la surface
coupe nécessairement la surface proposée
suivant deux courbes distincLcs, c'est-à-dire qu'on peut trouver deux polvnomes P et Q premiers entre eux et tels que
P- — Q2 /-, x,y ) soit divisible j)ar A(\3?,j)' ). Les deux courbes sont alors
A (57,71 = 0, z = -^-, Afar, j'i --= o, x; = — -.
Pour un polynôme donné /"(x', y), l'étude complète des polvnomes irréductibles K[x.,y) serait de grande importance. La remarque suivante va nous être utile :
Supposons qu'un polynôme irréductible '^{x, y) divise une expression
u et V étant deux polynômes en x et y, premiers avec '^. et désignons par w le degré de/". Alors, pour
o(.T, y ) = o, on aura
R étant rationnelle en x et y. Ceci posé, cberchons à déterminer des polynômes U etVenx, à coefficients rationnels en y, tels que
(a) U — VR(.r, jK)
s'annule quand '-^[x^y) ^ o. Pour de tels polynômes, on a certainement le polynôme en x
U2__V2/(.'r, ji.
divisible par le polynôme en x^ c;(x', j'); la lettre y entre rationnellement dans les opérations. On pourrait prendre
mais arrangeons-nous de façon que le (juotientde U- — V^/^l-r,!) par o(^, y) soit en x de degré le plus petit possible.
Si uest le degré de '^, on peut s'arranger de façon que l'exprès-
•ÎOO CHAPITRE 1\.
sion (a) s'annule pour o[x^y) = o, en faisant V = i, et en prenant pour U un polynôme en x de degré \x — i. Alors
sera un polvnonie de degré 2 iji. — 2 au plus, si
2 jji — • 2 ^ m ,
et le quotient de U- — V-/" par :p sera de degré [Ji — 2 au plus.
Donc du polynôme 's> de degré u., nous passons à un polynôme O) (,-^y, jk) de degré u — 2 au plus par rapport à x et à coefficients rationnels' -^pn y. De c5,(jc,j^') on passeia à un polynôme c5o(a%jk) et ainsi de suite.
Il y a maintenant à ai'içtinguer suivant que m est pair ou impaii.
Soit ni impair. Si
on pourra encore faire la réduction, et IV -,n arrivera à un polynôme
de degré "^
Si Ton a \
on obtient un polynôme de degré
Mais on peut passer cl un polynôme -^ de degré — — • a. n^ polynôme de degré au moyen du même raisonnement. C^n peut
choisir un polvnome U de degré — ■ — de manière que
U"- — fi .T, y )
soit divisible par o (division par rapport à .r, bien entendis^]; \q quotient est de degré
m — I ni — I
Donc, pour /« impair, la réduction peut se faire jusqu'à ce qu« [q
polynôme soit en x de degré — —
Soit m pair. Pouraij. — •i-^ni^ nous ferons la r(';(Jiiclion au
degré
[JL — 2 = I
l^our 2 u. — 2 = m — 2, nous ferons la réduction au degré
iNous sommes donc ramenés au degré — ou au degré — — i, et il n'est pas possible ici de faire en général d'autre réduction.
Toutefois il est possible de passer du premier cas au second si. dans/(^,j^), le coefficient de x est un carré parfait que Ton peut supposer être l'unité. Supj)osons en elTeL que, pour x satisfaisant à l'équation
tu ni
x''- -— %^x- -r-. . .-7- a,„ — o (Iiîs a étant rationnels en y).
le radical \'f\JC,y\ se mette sous la forme d'une fraction rationnelle en X et 9'. On pourra choisir les A rationnels en y de manière que
s'annule pour les — racines de l'équation précédente. Le quotient de cette expression par
m III
sera donc [dans /"(.r, jj^) le coefficient de x"'- est l'unité] un polynôme de degré
— — 1 an plus, •2
ce qui réalise la réduction cherchée.
lo. Ces préliminaires posés, soit lidenlité
U, V, '-i et 'l étant des poljnomes en x à coefficients rationnels
202 CHAPITKE IX.
en y, l'expression
(P) Alog-^-— ^^- (A^const.)
n'aura, à dislance finie, d'autres courbes logarithmiques que des
courbes de la forme
y = const.,
et les courbes
Si donc une intégrale de troisième espèce a pour courbes logarithmiques les deux lignes
quand on en retranchera l'expression ([i) avec une valeur convenable de A, on fera disparaître les courbes logarithmiques (y) pour les remplacer par les courbes logarithmiques
Une conséquence importante se déduit immédiatement de ce résultat. Si, pour le polynôme donné f(x, y), que nous supposerons, pour fixer les idées, de degré impair m en x, il n^ est pas possible de trouver un polynôme en x irréductible
avec coefficients rationnels en y et de degré — ^ — au plus, tel
que, pour
\Jf{x^y) soit susceptible de se mettre sous la forme d'une fonction rationnelle en x et y, on pourra^ par la soustraction d' un certain nombre de logarithmes, faire disparaître d^ine intégrale de différentielle totale toutes les courbes logarithmic^ues à distance finie, à L'exception de courbes
y = const.
s' il peut y en avoir.
De plus, par des raisonnements analogues à ceux que nous avons employés dans la section précédente pour la démonstration du théorème fondamental, on est conduit à la conclusion suivante :
S'il existe des polynômes -!/,■ rr/jondanl à la condition précédente, on pourra trompe/- un nombre p tel qu'il n'y aura pas d'intégrale de différentielle totale de troisième espèce ayant seulement , pour courbes logarithmiques à distance finie la totalité ou une partie des couples de courbes répondant aux
p polynômes
<Li. 'L, 'ip,
mais tel qu'il existera, une intégrale ayant seulement pour courbes logarithmiques le couple de courbes correspondant à
et la totalité ou une partie des couples de courbes correspondant « '|), 'io. . . ., -Ir^.
Nous ne parlons pas dans cet énoncé de courbes logarithmiques qui correspondraient à j- = const., qui ne sont pas exclues.
Dans cet énoncé, le nombre p jiourrait être nul, c'est-à-dire qu'il pourrait arriver dans certains cas qu'à tout couple de courbes répondant à •}/ correspondit une intégrale.
