Relativement à la dimension r^ de la série des groupes de
LA GKO-MKTRIi: SUli INE COURBE ALGÉBIUQIE. 2;
points déterminée par le système de toutes les adjointes d'ordre v
sur la courbe y^, nous distinguerons deux cas, sui\ant que v est
plus grand ou inférieur à m.
Si V -< /??, il est évident rpie la dimension de la série sera égale
à la dimension du système linéaire des adjointes d'ordre v; on
aura donc
Si v^m, il n en est plus ainsi, car le svstème des adjointes contient alors le système linéaire formé par /" et toutes les courbes d'ordre v — m. Le nombre de ces courbes linéairement indépendantes doit évidemment être défalqué et Ion aura dans ce cas la
relation
Ces deux expressions coïncident pour v = m — i ei^/ ^= m — 2. Mettons en évidence le nombre m — ô, et introduisons le
nombre
( jn — i) i m — ■?. ) ,
Pour V = m — 3 -f- a (a^ 1), on aura la relation
n^^p — 2 -T- ni'j.;
pour '/ ^= ni — 3 — a (a^o), on aura la relation
10. Quant au degré n., île la série, il est égal à /;r/ — -id. Donc, jiour V -= m — 3 ^- a, on a
et, par suite,
rh— ry^p — i —
11. Soit maintenant une série complète quelconque o'^. Nous savons qu'on peut la considérer comme déterminée par un système linéaire de courbes adjointes o^ passant par un groupe fixe F sur f. Soit g','^!, la série complète déterminée par toutes ces adjointes d'ordre v; en assujettissant celles-ci à passer par F, n^ sera évidemment diminué du nombre X des points de F, et /\ sera diminué de ce nombre ou d'iin nombre moindre, suivant que les conditions imposées par le passage des adjointes en ces X points seront ou ne seront pas indépendantes. On aura donc les relations
et, par suite,
On en conclut encore que, pour les séries déterminées par des adjointes d'ordre supérieur à m — 3, on a
(i) n — rllp,
et, pour les séries déterminées par des adjointes d'ordre inférieur ou égal à /?? — -3,
12. Parmi les séries de groupes de points, il j a lieu de distinguer celles qu'on peut obtenir au moyen d'un système d'adjointes d'ordre m — 3; elles portent le nom de séries spéciales; dans le cas contraire, une série est non spéciale.
La série canonique est la série spéciale déterminée par toutes les adjointes d'ordre îu — 3 (' ).
Le degré d'une série spéciale est inférieur ou égal à 2/? — 2, et une série dont le degré surpasse ip — i est certainement non spéciale.
Nous allons démontrer sur les séries spéciales deux théorèmes fondamentaux d'où nous déduirons ensuite quelques conséquences importantes.
( ' ) Une série, qui peut être déterminée par des adjointes d'ordre m — 3 — a inférieur à m — 3, est spéciale, puisque l'on peut adjoindre à ces adjointes une courbe fixe arbitraire d'ordi'e a. De sorte que les séries non spéciales sont celles qui ne peuvent être déterminées que par des adjointes d'ordre supérieur à m — 3.
