On voit, étant donnée l'équation
l'importance des relations
telles que, au moyen de ces relations, z soit susceptible de se mettre sous la forme d'un polynôme en x et y.
Le cas le plus simple est évidemment celui de m = 3. On a alors l'équation
z- — ai y ) x^ ^- b{y') x'^ ~ (^(y ) ^ -^ d,\ y \,
a^b^ c^ d étant des polynômes en y. Il s'agirait de rechercher s'il existe des fonctions rationnelles z et x de t, satisfaisant à l'équation précédente.
o54 CHAPITRE IX.
La question est beaucoup plus complexe qu'elle ne le semble :iu premier abord; c'est ce que monti'era de suite un cas très simple ( ' ). Je suj)p05e que la relation se réduise à
z- ^ fix) ¥( y).
f étant un polvnome de troisième degré en x n'ayant que des racines simples, et Fi l'i un polvnome de degré xp — x sans racines multiples. Nous allons montrer qu'il n'existe pas en général de fractions rationnelles z ç,\. x à& y satisfaisant à l'équation précédente, sauf les solutions immédiates
(i étant une racine de f{x) = o. Supposons qu il existe d'autres
solutions ; on aura
dx clx F(j)') dy
De là on déduit que rint(''grale de première espèce
r dx
se transforme, en prenant pour .r une fonction rationnelle de )'.
dy
en l'intégrale
/Pij)
K(j') étant rationnelle en j'. Comme cette intégrale doit être aussi de première espèce, il faut que R(j') se réduise à un poljnome de degré /? ^ i , et, par suite, une fonction rationnelle x àe y répondant à la question doit satisfaiie à la relation
dx „ fl y
P(r) étant un polvnome de degré p — i au plus. Réciproque-
('; E. Picard, Sur la résolution de certaines équations à deux variables et sur un théorème de M. JSœther {Bulletin des Sciences mathématiques, 1901J. — Sur certaines sur/aces dont toutes les intégrales différentielles totales se ramènent à des combinaisons algébrico-logarithmiques {Annales de l'École Noiniale supérieure, 1908 ).
menl d'ailleurs, si une fonction ralionnelle x de jk satisfait à une
telle relation, on aura
dx
dy
^JJ•(x)V{y)^?{y)
et, par suite, z sera rationnelle en y.
Des considérations précédentes il résulte tout d'abord que, pour un poljnome donné du troisième degré, si le polynôme F(j^) est arbitraire, il ne sera pas possible de déterminer une fonction ralionnelle X de )' (ne se réduisant pas à une constante) satisfaisant aux conditions voulues. En efllet, il ne sera pas j^ossible de trouver une intégrale de première espèce relative au radical y/F (^') ayant seulement pour périodes les deux périodes de l'intégrale
r dx
J VÏÏ
Pa/' suite, en général, pour la surjace
c-i = f(x) Viy),
\f{x) étant du troisième degré, et F(jk) de degré '>./?-!- i],
toutes les intégrales de différentielles totales se ramèneront
à la forme
Vdx^qdy
V//(^)F(JK)
où P et Q^ sont des polynômes en x, à coefficients rationnels e/i j^. D'ailleurs, en retranchant de l'intégrale une fonction rationnelle convenable en x^ y et c, on peut supposer que P est de
la forme
A et B étant des fonctions rationnelles de y. Alors les périodes
( A .r -4- B ) dx
(le l'intégrale relative à x
ne doivent pas dépendre de y. Or il est aisé de voir que l'on ne
peut choisir des fonctions rationnelles A et B de j' (sauf A ^B^ o)
telles que les périodes de cette intégrale satisfassent à la condition
P. ET S., Tl. 17
indiquée. Soient, en effet, les deux intégrales
dx C -2" àx
/dx r X dx
dont nous désignerons par to,, Q, et Wj, il-, les périodes correspondantes. On devra avoir
^ny)
C| et Co étant des constantes; or les valeurs de A et B ainsi déterminées ne sont évidemment pas fonctions rationnelles àe y.
17. Nous concluons, de l'étude du paragraphe précédent, que les intégrales de différentielles totales relatives à la surface
se ramènent toutes en général à des combinaisons algéhricologaritlimiques.
11 Y a un cas particulier, où nous ne sommes pas assurés de celle conclusion, c'est celui où Ton peut trouver un polvnome ^{y) de degré p — i , de telle sorte que l'équation
soit susceptible d'être vérifiée par une fonction lationnelle x àç, y (ne se réduisant pas à une constante).
Approfondissons le cas où le poljnome F(j') se réduirait à f(y)] alors P(r) doit être une constante C (puisque p= i), et nous avons l'équation
dx r^ dv ^ .
= c " ( L étant une constante).
Cette équation se rencontre dans la théorie de la multiplication des fonctions elliptiques. Supposons que les fonctions elliptiques correspondant au poljnomedu troisième degréy(.r) n admettent
IMÉGIULES UE DIFFÉKE.M lELLES TOTALES DE TROISIÈME ESPÈCE. 10'J
pas la niultlplicaium cv n/p /exe ; dlon^C sera nécessairemenl un nombre entier réel /Ji, el si, avec les notalioiis de Wcierstrass, on pose
et que p{a) dési-ne la lonelion eIlipLi(iue correspondanle, on aura d'abord Ja sobilion
^ = JK«), x = p(mu);
X ainsi ublenue est une lonelion rationnelle de y. On a en outre
m dy
(|ui est bien rationnelle en j-. Nous désignerons par K,„(j') l'expression de X en fonction dey; on a évidemment
L'équation
dr dy
admettra d'autres solutions x fonctions rationnelles de y; il est facile de trouver leur expression générale. Si l'on pose
Féquation précédente devient
dv = m du, d'où
<^ = /nu -r- K ( K élaiiL une conslanle.}
Or, comment doit être choisie la constante K pour que de
on tire pour x une fonction rationnelle dey. Il faut et il suffit que
mu -T- K et - - mu -i- K donnent pour x la même valeur, quel que soit u. Ceci exige que
V et v' étant des entiers, co et co' étant les périodes de p{u). Nous aurons donc pour K quatre valeurs conduisant à des fonctions rationnelles distinctes ; le cas de v = v' = o est celui qui a été considéré ci-dessus.
Nous allons étudier la disposition sur la surface des différents couples de courbes correspondant aux diverses fonctions rationnelles jr de r, que nous venons de trouver.
Prenons d'abord la première série (v = y' = o).
"18. Pour /a courbe du troisième désiré entre z tX, x
on a la représentation paramétrique (avec le paramètre r)
^^jHt-")» - = J^'(>,)P'(«)-
Si l'on coupe la courbe par une droite quelconque, la somme des valeurs des v correspondant aux points de rencontre est égale à zéro à un multiple près des périodes.
Les valeurs c = ziz /^ correspondent à x^^y^ et les valeurs v=^^ziinu correspondent à la fraction rationnelle x de t, dont nous avons parlé plus haut. On obtient ainsi, sur la courbe précédente, une succession de points; il est facile d'obtenir pour ces points une génération géométrique, qui va nous être très utile:
Si l'on mène la tangente au point A correspondant à
elle rencontre la courbe en un troisième point B pour lequel on a
r = — lit; le symétrique B' de B par rapport h O x correspond à
En joignant le point A. au point B', le troisième point C d'inter section de la droite AB' avec la courbe correspond à
Prenons le symétrique G' de C par rapport à Oa', pour lequel
INTÉGRALES DE DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE TROISIÈME ESPÈCE. 20g
r = 3/<; la droite AC donne un troisième point pour lc([uel
et, ainsi de suite, on obtiendra tous les points correspondant à V = ± m u.
Considérons les deux points correspondant à n et — m«, la droite qui les joint coupe encore la courbe au point correspondant à (;;? — i)i!. Soit
z = ax -i- b,
Téquation de cette droite, où a et b sont manifestement des fonclions rationnelles de j'.
Le polynôme du troisième degré en jc
{ax^bf-—f{x)f{y)
aura pour racines
Ri(jK), R;„-i(7) et Ty.niy).
Si donc nous revenons à la surface
l'expression
. , ax -¥- b -^ z , . , ,
(a) A los -, ( A étant une constante)
ax H- o — ^
aura, comme courbes logaritbmiques, les trois couples de courbes
z — ±{ax-^b), x = '?yi;{y),
où A" a les trois valeurs i, m — i et m.
Donc si une intégrale de différentielle totale admet le couple de courbes logarithmiques correspondant à /.=/;?, on pourra, par la soustraction de l'expression (a) avec une valeur convenable de la constante A, faire disparaître ce couple de courbes et le remplacer par les couples de courbes correspondant à A" = r et /.- =z m — I . En allant ainsi, de proche en proche, on arrivera à n'avoir plus, comme courbes logarithmiques, que les couples de courbes correspondant à
/.- = I et k = i\
mais, pour ce dernier cas, on peut, d'après la construction in-
26o rnvpiTRE i\.
diqiiée plus huit, déterminer a et h lalionnelles en y, de telle
sorte que
{ax^hY-—f{x)f{y)
admette R,(y) comme racine double, et R2(j') comme racine simple, et alors k ^= 'i est ramené à /r =^ i .
19. Nous n'avons encore considéré que la première série de couples de courbes, celle qui correspond à
L'étude des trois autres séries sera très facile, l^renons par exemple la série correspondant à
V = ± mu -r- — , ■2
et désignons par
la fonction rationnelle correspondante.
Considérons, comme plus haut, sur la courbe entre c et x
Le point A correspondant à
(<> ç =z mu -h — > ■J.
les coordonnées de A sont
X = p ( mu -\- -^ \ , z = p' l mu 4- — \ p'(ii)-
Envisageons aussi le point B correspondant à v = -• Ses coordonnées sont
07 = a, ^ = o (a (kanl une racine de /).
La droite joignant A et B rencontre la courbe en un troisième
point correspondant à
V = — mu.
Désignons par
z = ax -f- 0
la droite joignant ces points {a et b sont rationnels en y). L'équa-
lion du troisième degré en x
(aT + hr--f(x)f{r) = o
admettra, jDoiir racines a. ^m{y) et F\„Jy). Si d )nc 0:1 revient à la surface
l'expression
, av -\- b -k- z loff
ax -i- b — z
admettra, comme courbes logarilhmirjues, les deux couples de courbes correspondan t à
On peut donc, par une soustraction convenalile, ramener le premier couple de courbes logarillimirpies au second. Mais les couples de ce type viennent détre étudiés, et no;is avons vu que l'on pouvait se borner à envisager les couples de courbes correspondant à X ^ y-
Finalement, toute intégrale de différentielle totale relative à la surface
et de la forme
p ,I.T ^ 0 dv
oit P et Q^sont rationnelles en x et y, peut^ par la soustraction d'expressions algéhrico-logarithmiqnss convenables^ être ramenée à n'avoir à distance finie d'autres courbes logarllh niiques que le couple de courbes correspondant à
Nous ne parlons pas des courbes correspondantes à x = a [où a serait nécessriireni?nt racine de y(j:)J, qui ne peuvent être des courbes logarithmiques pour les intégrales envisagées.
L'intégrale sera donc de la forme
V dx-r-(^dy
x-ry"^/{x)fiy)' P et Q étant des polynômes en x, à coefficients rationnels en y
Enfin des réductions tout élénientaires permettent de ramener cette intégrale au cas de m ^ i .
20. Or il est aisé de voir qu'il ne peut y avoir, pour la surface d'intégrale de différentielle totale de la forme
P ( a;, y) dx -f- Q ( 37, jK ) (^ {x—y)z
où Pet Q sont des polynômes en .r, à coetficients rationnels en y. Avant de le démontrer directement montrons que cela résulte indirectement des remarques faites dans le Chapitre précédent au sujet de l'identité étudiée précédemment (p. 199),
sjj{x)
S'il existait une intégrale de la forme indiquée, on aurait nécessairement
VQ(x,y) 1 d V P(x,y) 1 ^^ L(^ — r)-J àjl{x — y)z\
dx \^( X — y)z D'ailleurs, on a évidemment
— -/: — =^ = G (G étant une constante).
Jiy)
Si donc de (i) on retranche l'identité (2) multipliée par C, on obtiendra une identité de la forme
^ à rPi(:r. r)] , 0 rQi(y, .r)1
Oxl z \'" àyl z J
où P, et Q, sont des polynômes en x, et cette identité est impossible, car l'intégrale double
JJ2!^,u,r,
prise le long du continuum envisagé (loc. cit.)^ serait nulle, ce qui est inexact.
21. Démontrons maintenant direclement qu'il ne peut v avoir, j)0ur notre surface, crintégrale de la forme
Les périodes de l'intégrale relative à x
\U .r, y ) dx
'■^-J')//(-2')/(jK)
ne doivent pas dépendre du paramètre y. En particulier, l'expression
doit se réduire à une constante 5 cette constante est différente de 7-éro, sinon les deux lignes correspondant à x ^=y ne seraient pas des courbes logarithmiques, et nous serions dans le cas étudié plus haut. On peut supposer que la constante est égale à un.
Si l'on considère d'une manière générale l'intégrale ci-dessus, P étant de la forme indiquée, et avec la condition
les périodes cycliques de cette intégrale sont des fonctions dey, la période polaii-e étant 27:?*. Les points singuliers de ces périodes regardées comme fonctions de y sont les trois racines de /{y) et le point à l'infini.
Envisageons dans le plan de la variable x le cycle Y comprenant à son intérieur deux des racines a et b, et laissant^)/- à son extérieur, et supposons jv' voisin dert.
Fig. o.
Nous avons pour une détermination de \f f{jc) en un point A du contour {Jîg. 0), et pour une détermination de \Jf{y)j une
période délerminée to. Supposons, pour fixer les idées, que la délerminalion de \Jj\x) en A soit celle qui devient \lf{y), quand a: va de A en y pir un chemin rectiligne. Faisons maintenant décrire à r lin chemin fermé autour de a. Le cycle F va se di-former, fuyant en quelque sorte devant j)', et nous aurons, quand jk sera revenu à sa position initiale, une nouvelle position Y' du cycle F correspondant à la seconde figure où Ton a supposé, comme il est permis, que seulement la portion de Y comprise entre le point A cl nn autre point B s'est modifiée.
Au point de départ A {/tg. t), le signe de \//{y) n'est pas le même dans les deux cas, puisque y a tourné autour de a; les élémenls de l'intégrale ont donc des signes différents au départ.
Il est alors aisé de voir ce que devient to, quand )' a tourni' autour de a; on reconnaît de suite, en comparant les deux figures, que-
w se transforme en
Faisons maintenant décrire à y un autre chem'u enveloppant
les trois points a, 6, c. Quand y revient à son point de départ, le
radical \^/{y) a changé de signe, rien par ailleurs n'étant modifié ;
par suite
w se transforme en — w.
Or (j) doit rester invariable, jiuisqu'il est indépendant à) y; on a
donc
to = o.
D'autre part, la circulation dey autour de a changeant to en — (0 — ^T.i, on voit que l'on arrive à un résultat absurde. Nous en concluons que l'intégrale, dont nous avons supposé l'existence, ne saurait exister. Donc toutes les intégrales de différentielles
INTÉCRAI-F-S I)K [)IFFÉRF,\TIELLi:s TOTALES DE TROISIÈME ESPÈCE. 26j
lotale.s relatives à la surface
se vprini'^.nl par les combinaisons algébi-lco-logarltJunùjiies. On a seulement supposé que les fonctions elliptiques correspondant au polynôme f\x) n'admettent pis de mulliplicatiDn complexe.
22. Relativement à cette dernière circonstance, faisons seulement 1 élude d un cas |iarticulier ; des considi'rations analogues s'appliqueraient à tous les cas de multiplication complexe. Soit
l'équation
ne pourra être vérifiée par une fonction rationnelle x de y, que si
(s racine cubique imnginaire de l'unité).
Les fonctions rationnelles x de y se déduisent, en raisonnant comme plus haut, des équations
J'==P(",K x = p[(m ^ ni)H^K].
où K est une demi-période.
A ces fractions rationnelles peuvent correspondre des couples de courbes logarithmiques pour les intégi'ale-i de différentielle s létales considérées. On verrait, comme ci-dessus, (|ue l'on peut se borner àK = o,et considérer par suite les fractions rationnelles x de y correspondant à
j' = p ( f< ), a: = J-) [ ( m -i- m ) Il j .
Eu particulier, pour /?? = i , /) =: o, on a l.i solution déjà considérée X =y', et, pour m = o, /? = i , on a x = ly.
On va voir que tous les couples de courbes logarithmiques peuvent être ramenés aux deux couples de coirbes correspondant à
X = y et X — ty.
266 CHAPITRK IX.
Tout d'abord le raisonnement fait plus haut, pour montrer que tous les couples de courbes correspondant à
J = P(«), .r = p(?nu)
se ramènent à x = r, est encore applicable.
On verra pareillement que tous les couples de courbes correspondant à
y = p(u), .T = p(ntii)
se ramènent au cas de /? r=r i , c'est-à-dire à x = ty. Soit enfin le cas général correspondant à
y=^p{u)^ .r = p(i'), où V = (?n -r- /Il \if.
Nous considérons sur la courbe entre :; et x
z-^=fix)p'Hii) le point
^ = P(*'), ^ =p'ii')p'(") [v = ( /n~^ ni)u\.
11 est en ligne droite avec les deux points avant les coordonnées
x = p(niu). j = jd' ( — mu) p'{u),
:r = p(nzu), z = p' ( — ntu)p'(u),
puisque la somme des arguments
{m -r- nt)u, — mu, — nzu correspondant à ces trois points est nulle. Soit
z = ax -I- b
l'équation de la droite joignant ces trois points, où a et h sont des fonctions rationnelles àc y. Alors, en revenant à la surface
l'expression
ax -\- b — z ^ ax -^-b -\- z
permet de ramener le couple de courbes logarithmiques correspondant à
aux couples qui correspondent à
V = mu et V = nzu.
C'est toujours le même mode de raisonnement, et, finalement, nous sommes ramené aux deux conples relatifs à
X =^ y et X =: E )-.
23. Par suite, dans notre exemple actuel, on voit immédiatement que l'on peut se borner à envisager les intégrales de difTérentielles totales de la forme
P clr — O dy
P et Q étant des polynômes en x à coefficients rationnels en y.
L'intégrale dilTère de celle que nous avons étudiée au § 21 par la présence au dénominateur du facteur a: — zj-. Mais les raisonnements faits (loc. cit.) vont encore être applicables avec peu de modifications, et nous arriverons à la même conclusion, à savoir que toutes les intégrales relatives à la surface
se ramènent encore à des combinaisons algébrico-logarithmiques. Reportons-nous en effet à la figure faite plus liant ; </, ù, c représentent les trois racines de 4-^'' — • • H faudrait encore marquer le point corresjiondant àyz. SijKesl voisin de «, le point j-£ sera voisin de l'un des deux autres points. Supposons qu'il soit voisin de c. Toutes les parties du raisonnement fait au § 21 sont encore applicables, puisque le point jô restant voisin de c n'amène aucune modification dans F, quand t tourne autour de a. On arrive donc encore à une contradiction, et, par suite, l'intégrale dont nous avons admis l'existence ne peut être construite, et les seules intégrales sont des combinaisons algébrico-logaritbmiques.
