Examinons quelques autres cas. Soit la surface

où a et 0 sont des polynômes en y. Il n'y a pas en général de

2(38 CHAPirilK IX.

fonctions rationnelles ;; et x de y satisfaisant à celte relation. Admettons en effet qu il en soit autrement et posons

z= sj b'L; on aura

(3) Z-i=Xi + i.

X et Z sont visiblement des fonctions rationnelles de j/el de 0, ne se réduisant pas à des constantes, en posant

(4) ^^^ba^.

L'intégrale de première espèce

de la courbe (.j) doit donc se Iran sformer en une intégrale de première espèce de la courbe (4). Or a et b étant des polynômes arbitraires, il n'y a pas d'intégrale de première espèce de la courbe (4) n'ayant que deux périodes; Thypotlièse faite est donc inadmissible. Ce mode de raisonnement permettrait même, en approfondissant davantage, de reconnaître dans quels cas il serait possible de trouver x el z rationnelles en y et satisfaisant à l'équation de la surface.

2o. Du cas particulier précédent on conclut que, en géné/ri/^ on ne peut satisfaire à ré(jualion

(4) -- = a(y)x-'^-i-biy)xi + c{y)x^diy)

(où a, b^ c, d sont des polynômes arbitraires en y) en prenant pour z el X des fractions rationnelles de y. On exclut, bien entendu, ici comme plus baut, le cas de j; el 3 idenli<|uenient infinies. Comme, en général, une telle surface n'a pas d'intégrales de différentielles totales de seconde espèce non rationnelles, on arrive à la même conclusion que plus baut pour toutes les intégrales de différentielles totales de celte surface.

A la vérité, l'étude complète des cas où l'on peut satisfaire à

IMÉ (.RALES DE DIFFÉKE.M lEI.I.KS TOTALES DE TIJOISIÈME ESPÈCE. .269

rt'([uylion (4) par des fondions rationnelles x el z de y ne semble pus facile. A cet éyard, le calcul des nombres des constantes indt:termintes se présentant dans le problème n'est pus sans intérêt. On ne diminue pas la généralité eu supposant que <:/, ù, c, d sont (les jiolvnonics de deyré [uiir 2 m en y. Soit, de plus,

Il et V étant des polynômes de degré ;j. en j'. On devra pouv(jir choisir ces polynômes de manière (pie le produit

[a( y)u^ -i- fj(y ) u- V -^ ci / ) u c- -+- d{y) v^ ] v

soit un carré parfait. Comme le polynôme précédent est de degré uni -\- 4 l^j on aura

conditions à écrire. Or le nombre des constantes figurant dans // et V (d'une manière non homogène) est

L'inégalité

montre qu'en général le problème est impossible.

En général, la surface (4) sera de genre géométrique supérieur à zéro, et les fonctions rationnelles x eX, z de y^ tpii |30urraient satisfaire à la relation (4), ne dépendront pas alors d'un paramètre arbitraire; car, sur une surface algébrique pour laquelle /Po^ >> o, on ne peut avoir une suite continue de eourl)es unicursales. Les solutions (.r, ;;), en nombre tîni ou infini, ne pourront donc former qu'une suite discontinue. C'est ce que nous avons trouvé pour le cas étudié plus haut en détail: \\ \ avait alors une infinité de solutions dépendant d'un entier arbitraire.

D'ailleurs, en général, pour la courbe (4), on pourra déduire d'une solution rationnelle une infinité d'autres, car, en menant la tangente au point cori'espondant, ou aura par son intersectioti avec la couibe un second point à coordonnées rationnelles, et ainsi de suite, en remarquant de plus (p.ie deux points eu donnent

un troisième. C'est ainsi, en fait, que se sont trouvés obtenus tous les points cherchés sur la courbe :;'- z=f[x)f{y) (' ).

26. Arrêtons-nous encore sur un cas particulier, celui de la surface

a elb étant des poljnonias arbitraires en >'. D'après notre théorie générale, nous avons à étudier les équations

(G) X- -r-P{y)cc -^ Q(y) = o (P et Q ralionaelles en j),

telles que, a: el y satisfaisant à une telle relation, z soit fonction rationnelle de x et y. Cherchons les équations (6) jouissant de cette propriété, en supposant que a et b sont des polynômes no/i spéciaux.

On aura, pour x satisfaisant à l'équation (6),

(7) \/ax'* — 6 = M3'-f-N,

M et N étant des fonctions rationnelles de y. Soit maintenant

on aura

ax* — b — a{x — ^ ) { x -\- ^) {x -\- ^ i) {x — 6 n.

Si donc nous posons

on pourra écrire

ax'— 6 = ;^ (2X-^-i)[X(i — i)-Hi][-^(i — O-^i]-

L'identité (^) devient alors

{-bis) /^,(2X + i)[X(i — o — i][X([^0-^i] = ,Me(n-X)X-^NX2.

(') Il est intéressant de noter que la question à laquelle nous venons d'être conduits, de satisfaire à l'équation (4) par des fonctions rationnelles .r et z de y, peut être regardée comme une généralisation du problème de la transformation des fonctions elliptiques.

ceci SOUS la condition que X satisfasse à la relation (8), transformée de (6),

(S) X2(02^pO^Q)H X(-202-^ PO) ^62 = o.

En se servant de (8), la relation (7'^") peut s'écrire

Par conséquent, le polynôme du troisième degré en X

(MO-i-X)

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