MOX

est divisible par le premier membre de (8); il admet donc un diviseur de premier degré en X à coefficients rationnels en y et H. Si donc nous posons

(•iX-M)[X([ — o-^i][X(i^o-^ i

on pourra exprimer Z etXen fonctions rationnelles de j)^, Bety/^. La fonction X (nécessairement finie) ainsi déterminée doit nécessairement se réduire à une constante, car autrement l'élément différentiel

[)ar la substitution de cette valeur de X, prendrait la forme

R étant rationnel en jK^ ^ et \jb. Il v aurait donc une intégrale de première espèce, relative à la courbe gauche dans l'espace (ç, ^, -:)

n'ayant que deux périodes, ce qui n'a pas lieu pour a et b polynômes cpielconques en y.

Le polynôme (9) en X doit donc s'annuler pour une quantité X, indépendante dey. Cette constante X doit annuler le polynonve

du troisième degré

(2X + .)[X(t-o-i][X(i + ij-i],

car aulrement \fb s'exprimcrail alors ralioiinellemenl à l'aide de 6 el de y.

Si alors X est une des racines du ]);)lynome précédent, on aura

pej

PfJ4 Q 0-H-P(J-4-Q

MOX = o.

Cette équation du troisième degré en H doit être une identité, car h ne peut satisfaire à une équation du troisième degré à coefficienls rationnels en y.

En développant celte équation en 9, on trouve de suite

M(X + i)6^+N(2X4-i)0=^0X(PX — QMj = o,

il faut donc que

L'équation (6) est donc de la forme

et l'on a alors

Donc, s'il existe des solutions au prob'cmc posé, on a. dans léquation

z et ^2, qui sont fonctions rationnelles dey.

Posant X- = v, nous sommes donc ramenés à reconnaître si Téquation

peut être vérifiée en prenant pour v et z des fonctions rationnelles de r. On peut établir facilement qu'il en est ainsi ('). Il y a même

(') Dans rarlicle cité page 2.34, ^^- Picard démonlie ce fait, auquel il ra'.tache un lliéoréme bien connu de M. Nœlher sur certaines surfaces unicursales, en faisant rénuméiation des constantes arbitraires. On peut supposer que a ut b sont

de degré pair 2 m, et soit t- = - , en désignant par u et iv des polynômes de de-

L\rÉGItAl.i:S DE DIFFl':iti:MlELLES TOTALES DE TROISIÈME ESPÈCE. 2-3

nue infiiiilé de soIuLions se dédiiisanl de l'une d'entre elles; il suffit en effet de faire pivoLer une droite autour d'un premier point à coordonnées rationnelles de cette conique, pour exprimer z el V en fonctions rationnidles de r et d'un paramètre m. En prenant pour/;î une fonction rationnelle do y, on aura toutes les expressions de c- et i' en fonctions rationnelles 'de j-.

En retrancliint d'une intégrale de différentielle totale de troisième espèce relative à la surface

des expressions de la forme

CIog(^ + Vx-i^ R),

G étant une constante, et I' et R. des fonctions rationnelles àe y^ on raminera l'intégrale à n'avoir, en dehors peut-être de lignes j'=:zconst., ([ue les deux courbas logaritli:iiiques correspondant à une équalion détenninée