X- ^ Oi y) — o
du type envisagé plus haut. L'étude des intégrales de différentielles de la surface peut alors être effectuée complètement, puisque toutes ces intégrales sont susceptibles de se ramener à la forme
A et B étant des polynômes en x, à coeCficients rationnels en y. En général (c'est-à-dire pour a et b polvnonies arbitraires en y), ces intégrales sont algébrico-logari ihmiques.
;ré iji. Le polyaume
doit être un carré parfail. Comme il e?t de degré 2 m -r- 2 a, le nombre des conditions sera /» 4- ;x. D'autre part, le nombre des constantes figurant dans ti cl w '■>t 2 ;x ^ 1 ; comme
2 ;j- -)- I ^ m -\- li-
à partir d'une certaine valeur de ;j., il est possible de satisfaire au problème proposé.
i'74 CHAPITRE 1\.
IV. — Sur des classes de surfaces dont toutes les intégrales sont algébrico-logarithmiques ( ' i.
27. Les cas particuliers que nous venons d'examiner se rapportaient à des surfaces donnant des sections du genre un. pour y = const. Voici des cas plus généraux et mettant en évidence des circonstances intéressantes.
Envisageons la surface
f{x) étant un polynôme de degré ip -— i (à racines simples) et F( )') un polynôme arbitraire. D'après la théorie générale, développée précédemment (page 25o), nous avons à rechercher les courbes
de degré /> au plus en x, telles que. pour (x,j-) satisfaisant à cette dernière équation, :; soit fonction rationnelle de x et de )'. Nous allons démontrer que de telles courbes n'existent pas, en dehors des courbes x = a, en désignant par a une racine de f{x).- Soit
on aura
et l'on pourra satisfaire à cette équation en prenant pour J^ une fonction rationnelle de x,y et y/F( r), les deux lettres x ely étant liées par la relation cp = o, que l'on suppose exister. Donnons à ^■ une valeur déterminée et considérons une détermination de ^/F(^j'); on aura, pour x, les p racines .r,, x-2, . • • , Xp, en supposant 'i de degré p et irréductible. Formons les sommes
(li) — 1= — -===4-...+ -^^=^ a = o, I, .... /? — I).
Puisque \}f{j-'i) est une fonction rationnelle de jc,-, jk et y/F(r i.
(') E. Picard, Coi» pies vendus, t. CXXXVI, el Annales de l'École .\orniale. MP3.
les sommes précédentes seront de la forme
les R>. élanl rationnelles en j- et \'F( r), et les intégrales
seront des intégrales de première espèce. Tontes les fonctions R). ne peuvent être identiquement nulles (à moins que lésa: ne soient constants); car, des équations oblenues en égalant à zéro les expressions (^E), on déduirait que deux des x sont égaux, ce qui estcontradictoireavec l'irréductibilité supposéede l'équation '^ = o. Ceci posé, nous aurons donc au moins une intégrale de première espèce relative à la courlje
(pii aura les mêmes périodes qu'une intégrale de première espèce relative à la courbe
Celte circonstance ne jjeut se présenter si le polynôme F( )') est arbitraire, ce qui démontre l'impossibilité de la relation y = o jouissant de la propriété indiquée.
Nous avons sujjposé le polvnome irréductible '^ de degré p par rapport à x; la même démonstration s'appliquerait si cp était d'un moindre degré que p.
De celte analyse nous concluons [en remarquant de plus que la surface
n'a pas d'intégrale de seconde espèce] que toutes les intégrales relatives à cette surface sont algébrico-logarithmicjues. On suppose, bien entendu, que ^ (^y) est un polynôme arbitraire.
28. Les conclusions précédentes s'étendraient immédiatement (en raisonnant comme au n" 24) aux équations de la forme
a et b étant des polynômes arbitraires en y.
29. Nous avons donc ainsi obtenu des cas particuliers assez étendus pour lesfjuels les intégrales de différentielles totales de troisitme espèce peuvent être étudiées. Si l'on cherche à traiter le cas d'une surface de degré m (à singularités ordinaires)
on devia considérer les courbes gauches tracées sur cette surface. Soit une telle courbe de la surface; elle coupe la courbe d-'-finie par la relation entre x et ;
en un certain groupe de points dépendant rationnellement du paramètre y. Il iaudrait donc étudier les groupes de points sur la courbe précédenle qui dépendent rationnellenie/U de ]'. On peut supposer que ces groupes de points ne contiennent pas plus de p points (/> désignant le genre de la courbe/ pour y arbitraire); c'est ce que nous allons commencer par démontrer.
Envisageons en effet un groupe de À points (a >-/j), et rappelons-nous que la dimension des adjointes d'ordre /n — o-l-a(a^i) est
Or on peut choisir un nombre 'x daus la suite
de telle sorte que Ion ait
À H- ;ji = /< — 2 -r- /« X (a entier ^i).
Ceci posé, nous avons vu que les m points à l'infini de la courbe y sont à considérer comme distincts au point de vue de la rationalité })ar rapport à y. Joignons alors aux À points du groupe considéré, [jl des points à l'infini; nous pouvons dire que nous avons un groupe de A -f- p. points dépendant rationnellement àe y. Par ces a H- u points on peut faire passer une adjointe au moins
d'ordre
et, en dehors des A -h a points et des points doubles, nous avons p points de rencontre. Nous sommes donc ramenés à un groupe
de /> points (dont quelques-uns pourraient èlre à liiifini); c'est ce que nous voulions montrer.
30. L'élude générale des groupes de p points sur la courbe J\ dépecd;;nt ralionnellcmenl dej^, ne paraît pas facile. Nous allons étudier seulement le cas particulier de la courbe
où P(j') est un poljnome arbitraire de degié m. Nous considérons donc sur la courbe (a) enlje z et .r un groupe de p points
p étant ici depentiant rationnellement de y\
posons on aura
Sur la courbe (,3) correspond au groupe des p points de la courbe (a) un groupe àe p points dépendant ralionuellenicnt de j' et de v/l^(j)') • Désignons ces p points par
(çi, Ci), (?2, C2;, ..., (ç/. r/.), et soit une intégiale de premiô'e espèce de la courbe (,3)
la somme
yni-x Yin—\ 1 . . . . r«i— 1
( OÙ les différenlielles sont relatives à la \ariable jk) sera nécessairement de la forme
Ri étant une Jonction rationnelle de j^ et y" PO), et l'intégrale sera nécessairement une intégrale de première espèce relative à
ajS CHAPITRE IX.
la courbe enlre u ci y
Nous avons donc les /> équations
pour i = i^ 1^ . . . ^ p.
Si ces écjualions admelLent une solution donnant pour toute fonction symétrique des p points (q,, ^i)* • •(^/" "^p) ""^ fonction rationnelle de y et \/P(y), il est nécessaire que les périodes des
intégrales
soient des périodes correspondantes des intégrales
Or ceci est impossible, quand le polynôme P(jk) est un polynôme arbitraire de degré /n (en supposant ;?? ^S); car alors il ne peut arriver qu'une intégrale de première espèce relative à la courbe
n'ait d'autres périodes que celles d'uîie intégrale de première espèce relative à la courbe
On en conclut que tous les R sont identiquement nulles, et nous avons les relations
U) ^^TJT^i — ~ "" rm^i r...-f- „j — u i^t — 1 , 2, ...,/7;.
On peut énoncer ce résultat sous une autre forme. Soient
V ?1 ) Si /<) V-52' ^2 /' • • • ' VÇp) 'î/W
les valeurs des (^, y,) poury^j'o et une certaine détermination de 'v^P(yo) ) Isi somme des intégrales
INTÉGRALES DK DIFFÉRENTIELLES TOTALES DE TROISIÈME ESPtXE. 379
OÙ nous n'avons pas écril lY'lémcnt
sera une fonction de y, dont la dérivée est nulle. Elle est donc égale à une constante (à des périodes près), et cette constante est nulle (d'après sa valeur pour y ^=y„).
Les écpiations (y) nous apprennent d'ailleurs, si les (ç, y, ") dépendent de y, que le déterminant
IQ/(U, r/,)| = 0, eU par suite, les points
sont sur une adjointe d'ordre m — o.
Ceci posé, considérons une telle adjointe passant par ces points ; elle rencontre encore la courbe {[i) aux/? — 2 points
Pour j'= }'(,, on aura en particulier
Ou aura évidemment, pour toute intégrale de première espèce,
Or, si l'on a une courbe de genre p et 2/> — 2 points de cette courbe situés sur une adjointe d'ordre m — 3,
les conditions nécessaires et suffisantes pour que 2/? — ■>- autres points
soient sur une adjointe d'ordre m — 3 s'expriment par les p relations
formées avec les/? intégrales de première espèce.
28o CHAPITRE IX.
Si nous appliquons ce résultat, nous voyons que les 2/> — 2 points
sont sur une adjointe d'ordre /?i — 3. Par suite, si nous revenoi;s à la courbe entre :; et x,
nous aurons sur elle le groupe des p points, dont nous sommes parti, situé sur une adjointe d'ordre m — 3, et cette adjointe rencontrera la courbe en p — 2 points dont les coordonnées seront
^i vi'^y}, i^i V^iy) (/ = 1,2, ...,/> — 2).
La correspondance entre les deux courbes
est d'aillcuis telle qu'à un point de la première correspondent m
points de la seconde [suivant la détermination de v/^(.^')j5 ^^ '^^ coordonnées de ces jn points difFèreut par un facteur qui est une racine //i'*"""' de l'unité.
Il résulte de là que, pour la surface
on peut trouver une surface
de degré ni — 3 en jc et ;;, rencontrant la surface à distance finie suivant la courbe initiale considérée (correspondant au groupe des yD points), et suivant les p — 2 courbes planes
il j ourra v avoir aussi des courbes de rencontre correspondant à j- = coDst., ces constantes étant racines de P(>') = o.
Pvemarquons que \'p est différent de ii/i^ à cause de la relation
nous supposons ici le point (a", y^) à distance finie; s'il était à
INTÉGRALES DK DIFFÉREMIKLLKS lOTALES DE TROISIÈME ESPÈCE. ^S I
l'infini, le poinl (j;, :;) serait à rinfiru [)')ur j^ arbitraire, el, par suite, sans intérêt pour nous. De ce que À/ n'est pas une racine ^^^icnie jg l'nnilé, il résulte que le plan
coupe la surface suivant une courbe irréductible.
31. De ces résultats nous allons pouvoir tirer dos conclusions intéressanles sur les intégrales de diirérentielles totales relatives à la surface de degré m
où l*(^') est nn poljnonie arbitraire de degré m. Par la soustraction d'expressions de la forme
G logK(,r, y, z i — G V lo^( ,r - À, g),
où R a la signification du paragraphe précédent et où (ï désigne une constante convenable, nous pouvons ramener Tintégrale à n'avoir plus à distance finie d'autres lignes logarithmiques que des courbes correspondant à j)^ = const. Nous faisons, en elTel, disparaître parées soustractions toutes les courbes logarithmiques à dist.'ince finie, en n'introduisant peut-être que des courbes logarithmiques correspondant à des équations de la loriiie y = (t^ « étant une racine de P(j)/-)=o, valeur pour laquelle la courbe entre z el x ?<e décompose en m droites.
En résumé, par des soustractions de logarithmes de fonctions rationnelles, nous sommes assuré de pouvoir rameuer toute int( grale de différentielle totale relative à la surface
à une intégrale ne pouvant avoir, à distance finie, d'autres courbes 1 ogarithmiques que les droites correspondant aux sections de la s urface par les plansj(-=zrt [« étant racine de P(jk)]- On n'oubliera pas d'ailleurs que toute l'analjse précédente suppose que le polynôme P(j') n'est |)as un polynôme particulier de degré ni.
