Soit donc l'intégrale de différentielle totale

(E) fP(T,y, z)dx + Q{r,j,z)dj,

n'ajanl d'autres lignes logarilhmiques que les droites sections de la surface par les plans y=: a, oh a est racine de P(j). L'intégrale

(a) jP{x,J,z)d.r

sera une intégrale abélienne pour la courbe entre c et .r

(y étant arbitraire et différent des a), n'ayant pas de point singulier logarithmique à distance finie, puisque Tintégiale (E) n'a d'autres lignes logarithmiques que les droites sections de la surface parles plans y ^ a . On sait d'ailleurs que, parla soustraction d'une expression de la forme

on ramènera l'intégrale (a) à la forme

F( .r, y. z) cl.7

F étant un polvnome en ^ et :; à coefficients rationnels en 1', et l'on peut su Imposer que le degré de ce ])olynome en .r et z est au plus '2 m — 4-

Les périodes (polaires ou cjcliques) de cette intégrale ne doivent pas dépendre de y. L'intégrale précédente est de la forme

c/-^3.7'^c? dx

0. et ^ étant des entiers positifs (a -4- [3^ 2m — 4)? et les «a? étant des fonctions rationnelles de y. Considérons d'abord les termes pour lesquels 7. -h ^ a la valeur A', comprise entre o et m — 4? et la valeur A" + m.

En posant dans l'équation de la courbe

z'" = X'"- -H P (jK ), - = ^ Vp ( J ) et X =\ "\/P {y),

nous aurons une intégrale oîi

^Kf)'"

sera un facteur, el qui sera de la forme

cirxK étant encore rationnelle en y et ne re|irésenlant pas nécessairement la même fonction que plus haut.

Envisageons ensuite les termes où v. -~r f-> a la valeur /n — o ; on est alors conduit à l'expression

Enfin, les termes où a — [ii ^ /» — 2 conduisent à

La somme des périodes des intégrales (I), (II) et(lll) doit être une constante indépendante de y. Il s'ensuit que la somme des périodes des intégrales (I) et (Il ) doit être nulle; sinon

satisferait à une éf[uation d'ordre m — i au plus, dont les coefficienls seraient rationnels en y.

Nous concluons de là que. dans Tintégraie

les termes f[ui correspondent à a -j- |5j ^ /;i — 2 donnent une fonction rationnelle de j;, y et z. On peut retrancher celle-ci de l'intégrale de diflférentielle totale envisagée, et nous avons alors une intégrale de diderentielle totale, dans laquelle le coeKicient de dx est

Les périodes de l'intégrale

I ■l'^.x"-'- z'? cLi

("a'i iVaction rationnelle)

ne doivent pas dépendre de y.

284 CHAPllRE I\.

Il en sera ainsi si les art^ sont des constantes, el il est facile dans ce cas d'avoir la valeur de l'intégrale. Désignons parc une racine m^""^^ de l'unité el écrivons

log(^ — zx)

sous la forme dune intégrale de difTérenlielle totale, el nous raplanl que

Le coefficient de dx sera

I fdz

zx \dx I

( - '« — 1 zin~\ j-m — X

c'it — l - - r

et Ion a, par suite, l'intégrale

-T=^v\ — '-^Tjih-i — '^^—^ — ' dx,

qui est de la forme des intégrales considérées plus haut. En |)renanl successivement pour s les m racines m"'""^"* de l'unité, nous aurons ainsi ni intégrales dont la somme est nulle, el l'on voit imm l'diatem L'nl que toute intégrale

x-^z':idx

est la somme de /n — i des intégrales précédentes, el s'exprime par conséquent par les logarithmes de z — zx en prenant pour s [tn — Il racines m""'"'^ ^i> ':>, • • : ^,>i-\ de l'unité.

Nous avons supposé que les ay,o ne dépendent pas de y. Si les '^'a,3 dépendent de y. l'intégrale considérée

aura pour valeur

2^ 0i\0Z{z. —ZiX),

les 'i étant des fonctions rationnelles àe y. On aurait donc une in-

I\TÈi;RALKS de l)lFlf::i{E.MlKLLES TOTALliS DE TIIOISIÈME ESPÈCE. 285

léirrale de dififérenlielle lolale

f Xdx+ Bdy., relative à la surface

dans laquelle

les oélanl ralionnelle> en ]'. Mais ceci est impossible, si les cp ne

sont r)as des constantes, car on aiirait, a cause de -— = -— j

i ' àx àj-

i ^iin — 1

B = — 2, ?' l0o(^ — -/■^■) + fonction de k,

cl celle fonction B ne peul être rationnelle en x, y et ;; que si les C3 soat des constantes. Il en résulte (pisj les intégrales considérées de la su:'race sont nécessaireniont de la forme

XC,- log(c — tiX) -f- i:A log(j' — a ; + R( k)-

les G et les A étant des constantes, et R.(.:»') une fonction rationnelle de y.

Nous pouvons donc conclure :

Toul(;s les intégrales de différentielles totales /-elatives à la surface

[oùP()-)est un polvnome arbitraire de degré m\ s'' expriment par des combinaisons algébrico-logarithmicjues.

33. Terminons en cherchant le nombre des courbes irréductibles sur la surface précédente ré])ondant à l'énoncé du théorème fondamental de la page 241 • Étant considérée une courbe irréductible quelconque de la surface, on peut, d'après tout ce qui précède, former une intégrale de diflerentiellf totale n'asant d'autres courbes logarithmiques que celle courbe, et la totalité ou une partie de la courbe à l'inlini et des droites sections de la surface

par les plans

[rt étant racine de P(j')].

Or de cette intégrale on peut faire disparaître comme courbes logarithmiques les m droites obtenues en coupant la surface par

le plan

a^ étant une racine déterminée de P(j'), et les m — i droites sections de la surface par le plan

^ — Ei.r = o,

£, étant une racine m'^""-^ déterminée de l'unité (la m''"'^ droite d'intersection figurant déjà parmi les ni précédentes). On peut, en effet, retrancher de l'intégrale l'expression

A, log(j — rto)-^. • --H A,„ logfr — a,n)

~ Bi log(;; — tix)-^ B-, 'ogi^ — t-^x) -t-. . .-i- B„j log(:; — tmx),

les A et les B étant des constantes convenablement choisies de façon à faire disparaître les im — i lignes logarithmiques indiquées. Donc, en considérant les [m — i)- lignes droites A de la surface situées dans les plans

y ^= ai {i ^^ 'JL^Z, . . . . ni)

et non situées dans le plan

z — Ei.r — o,

il existe certainement une intégrale de troisième espèce ayant comme lignes logarithmiques une courbe arbitrairement choisie, et la totalité ou une partie des lignes A et de la courbe à l'infini. D'ailleurs, il n'existe pas d'intégrale ayant seulement comme courbes logarithmiques la totalité ou une partie des lignes A et de la courbe à l'infini. En effet, d'après le paragraphe précédent, une telle intégrale serait, à une fonction rationnelle près, de la forme

Cl log(^ — ZiX) -^ C. Iog(^ — Z,X) -f-. . .— C,„ l0g(^ — ZniX)

-I- Al \o^{y — ai) -H. . .— A,;j \o^{y— a,,,)- Or les droites de la surface dans le plan

IMK(ilt\LKS l)K l)ll"l"i:UE.NriELI,i;S TOl'ALKS UK TUOISltME KSI>fer;E, 287

110 dolveiiL pas clie des courbes logarilliini(nies. Donc, on doil

avoir

rcxpiesslon est donc de la forme

- A, V(j-) M- A, \o'^(j a, ) -. . .^ A,„ Ur^(y - a,,,). car

(- — tiX){z — t.2X). .. t z — i„,x) ^ P(r)-

Donc, l'expression peut encore s'écrire

\', log( )■ — «2 ) — ... -r- A',„ lo-( (■ — a,„ ),

el, comme les dioiles situées dans le j)lan

ne doivent pas èlre des courbes logarillimiques, tous le.-> A sont nids.

Le nombre désigné par o dans t'énonce du ihéorvnie fondamental est donc ici égal à

(ni — I )'- -i- I,

34. Nous venons de détei-mincr le nombre o pour les surfaces de degré ni supérieur à trois, dont l'étjuation est de la forme

Lue question se j^ose de suile : Quelle est la valeur ilr z pour une surface donnée?

Nous ne sommes malheureusement pas en état de répondre toujours à une telle (|uestion, et c'est là une lacune imporlanle dans la théorie. (Jn pourrait seulement indicpier aisément une limite supérieuie, résultant de la démonstration nn'me du théorème fondamental, mais celte limite manque de précision. C'est surtout, comme on va le voir dans les Chapitres suivants, pour la théorie des intégrales doubles de seconde espèce ([iie cette lacune est req:ret table.

Quant à la question déjà plusieurs fois soulevée, de savoir si, pour une surface, les intégrales de dilïérentiellcs totales se ramènent en général -A des combinaisons alg(''brico-logaritlimique>. V. 1:1 s., II. 1.^

Jes exemples assez étendus qui viennent d'être indiqués tendent à faire pencher vers l'affirmative. Toutefois, le théorème assez singulier de la page 2^0 rend hésitant dans 1 énoncé d'une prohabililé.

Pour ce qui concerne les surfaces dont Téquation est de la forme

^■- = /'(.r, T) (de degré 1/) -^ i en ./• 1.

il seniLle que l'étude des relations

o(a", >'; = <• (de degré/» en r),

telles que r se nielle sous la forme dune fraction rationnelle de x et r [quand on a c(.r, -)-) = o] ne soil pas inabordable, au moins ])Our des valeurs assez [)etites de p.

Daprès les exemples donnés dans celte section, il ne paraît jtas douteux qu'il n'existe pas en général de telles relations. S'il en est bien ainsi, on a des exemples exlrémement étendus de surfaces pour lesquelles toutes les intégrales de diflérenlielles totales sont algébrico-logarilhmiques.