CIIAIMTIÎK X

<!oiil aucune coinhinaison linéaire n'est de la forme

A et B étant des fonctions ralionnelles de x, y et z. On répondra aisément à cette question si l'on sait reconnaître à quelles condi-

lions l'expression donnée

est de la forme

(ix II y

A et B étant ralionnelles en x. yel c: bien entendu c est regardée comme fonction de x et r, quand on fait les dillérenlialions partielles. Mais nous avons déjà indicpié à la (in du Chapitre A III (p. 228) (pielles circonstances venaient compliquer la question : c'est que l'on ne sait pas a prioii, dans lidcntité

Q( T. y. -) t/A oW J"z ~ àx Oy'

|)Our cjtielles courbes A et B peuvent devenir infinies.

2. Supposons donc (pie l'on ait ridcnlilé [)réc('dente. Désignons par

la projection de la courbe double sur le plan des .rj', et par

la projection sur le même |)lan de la courbe de conlacl de la surlace avec le cylindii^ parallèle à O:;.

Dans ridenlilé ci-dessus, A el B peuvent devenir infinies pour diverses courbes de la surface, el Ton peut avoir a priori pour ces fonctions des expressions de la lornjc

UCr, )'. c)

■[x,y)'f-G(x,y)9-'oi(x,y)'<.. .■^rK-r^yV'dV •ii, 'io. . .. ■:,,. représcnlent des j)olvnoines irréductibles en x

ïllÉ(jlilE UCS l.MÉlillVLES DOLBLKS DI- SKCO.NUK hSl'tci:. 29 1

Cl r, premiers entre eux el avec i^ el (1, et conlenaiil j: ; les lettres ),, u, a,, . - ., "J-r représentent des entiers positifs. Quant aux numérateurs U elV, ce sont des polynômes en .r et ;, à coeflicienls rationnels en r.

jNous allons montrer tout d'abord que l'on ne diminue pas la

généralité en supposant que les entiers a,, ..., a,, a', a^ sont

égaux à un. En edet, considérons l'expression l] comme une fonction rationnelle de x et r, relative à la courbe entre x et c,

on sait, par la théorie élémcnlaire de la réduction des intégrales abéliennes ('), que l'on peut de B retrancher une expression qui soit la dérivée par rapporta x dune fonction rationnelle II de x^ y et r, de manière que

Or

soit de la même forme que B, sauf que y.\ = a,. ^ . . . = a^', = i .

Or écrivons F identité

O à\ OU

â^ ) ' nous avons réalisé la subsLituliou cherchée, car on a

et, dans le numérateur de B( , les pol vnomcs 'i, , o^ . . . . , '^/- figurent seulement à la première puissance. Il faut donc (pTd en soit de même dans A|. puisque

reste (înie le long des diverses lignes de rencontre de ■^i(^x^y) = L> avec la surface/',, et que ces lignes sont des lignes simples de rencontre |)our les deux surfaces

(' ) Pour celle réduclion, on poui-ra consuller le Tome I de col Ouvrage (p. iGo) el aussi le Tome I, 2' éd., du Jraiié d'Analyse de M. Picard (p. 6G).

sous la forme

ôx ^

On le voit immédiatement de la manière suivante. Supposons que A| renferme au dénominateur 'j, à la puissance y.) supérieur

à uti. Alors —7— contiendra le terme de

ôx

Or -y-* est premier avec cp, (pourj^ arbitraire). Si donc U ne s'annule pas pour les courbes d'intersection du cvlindre 'J| avec la surface, ce terme aura une ligne d infini d'ordre 7.1 + 1, que ne

renlerme pas 1 expression —-> ce qni est jmpossible.

3. Ces considérations ne sont pas immédiatement applicables pour ce qui concerne^' et G. On peut bien dans B ramener encore, au moyen des mêmes considérations élémentaires, les puissances de o- et G à être égales à un, mais dans A les puissances de ^ et G pourraient être égales à deux. Soit en ell'et l'identité

fl ~ â.r df ' OÙ A et B ont les valeurs écrites plus haut, en supposant

).'= ;jt' = I.

Nous allons voir que X et u. sont au plus égaux à deux. Considérons G: le cvlindre

coupe la surface suivant la courbe doubler et une autre courbey. Le premier membre ne devenant pas infini j^our un point arbitraire de l'une ou l'autre de ces courbes, il en est de même du second. Par suite, B ayant F comme ligne d'infini double, il faudra que A ail seulement F comme ligne d'infini double. Quant à v qui est ligne d'infini simple pour B, elle sera ligne d'infini simple pour A. Il résulte de là que

ne peut avoir les lignes F et y que comme lignes d'infini simples.

TIIHORIE nns INTÉGRALES DOLBLES DE SECONDE ESPÈCE. 2()3

Soit 'Jt. supérieur à deux; alors L(.r, )',:;) devra avoir*' comme ligne de zéro double, et il en sera de même pour F. Il en résulte

que le quotient

pourra se mettre sous la forme d'un pol vnomc en .r et z, à coeflicients rationnels en t. Par suite, on passera de 'x ii y. — i jusqu'à ce que y. = ^. .

On ne peut faire plus IdIu la réduction, [uiisque, pour que

ait r pour ligne d'infini sim]:)le, il suffit que U ail F pour ligne de zéro simple et. par suite,

ne se mettra pas en général sous la forme d'un jiolvnome en x et z.

Les conclusions que nous venons de Ibrmuler pour la ligne double se projetant suivant G sont applicables à la ligne de contour apparent qui se projette suivant q\

Donc, en suivant la métbode indicpiéf. on voit que l'on peut

supposer

À'= ;j.'=: I et }. = •/,= >.

i. En modifiant légèrement les considérations précédentes, on va voir c[ue l'on peut supposer également que ). et 'x sont égaux à l'unité.

Commençons par faire une remarque relative à une courbe algébrifjue

Si a correspond à un point double A de /, on sait que, d'une

expression

(l* étant un polvnome en .r et ri, on peut retranclier la dérivée d une fonction rationnelle de x et y, de manière à être ramené

^94 niAPITRE X.

à a =^ I ; c'est un résultat sur lequel nous nous sommes appuyés tout à riieure.

On peut aller plus loin et supposer que, après celte réduction, le polvnome P(.r,j)') s'annulera au point double.

Sujiposons en effet la réduction faite à y. = f . Si P ne s'annule pas au point double, la fonction

a, au j^oint A, un pôle double surcliacune des branches de courbe passant en A, On peut trouver une fonction rationnelle de x et y avant à dislance finie seulement deux pôles simples qui soient précisément le point A regardé comme appartenant à lune et l'autre branche, les résidus, de plus, ayant pour ces deux pôles les valeurs données. Il suffira de retrancher de (i) la dérivée d'une telle fonctioi (en prenant pour les résidus des valeurs convenables) pour avoir une expression de la même forme, et où P(.r, i) s'annidera au point double.

Une remarque analogue ])eul élre faite pour le cas où la droite .r = a serait tangente à / en \\n |)oiiit A. On peut faire d'abord la réduction habituelle ramenant à a= i; soit alors I'exj)ression que nous appellerons encore (i). On voit de suite que l'on peut retrancher de (i) une expression convenable de la forme

(.) ^nU.r,y)l

' dx [(jr — a) ]

où M(.r, j»') est un polvnome s'annulanl en A et auK autres points de rencontre de x = a avec la courbe, de telle sorte que la différence de (i) et (2) soit encore de la forme (1), mais avec cette condition que P(:c, j') s'annule en A.

5. Ces remarcjues faites, nous pouvons raisonner comme aux n"^ 2 et 3; mais nous pourrons maintenant supposer que nous avons, dans B, non seulement

mais que, de plus, V(r,j)-, z) s'annule pour la courbe double et pour la courbe de contour apparent.

TllfiOUlE l)i:S INTÉCUALKS DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 9.9"»

Il en résullc qu'on peut com[)l('lcr le raisonnenicnl du ii" '.). Dans

|G(.r. r il!-»-'

la courbe double Y ne doit |)lus èlre une lii;iie d'inOni cl, par snile, on jieut supposer (|ue v. esl <''i;al à lunilé; il en esl de même |)0ur )>.

Finalenieiil, après ces réduclions élémenlaires, iwf/s arrivons à la co/ic/asion que V idcnlilc iidinisc pcul prendre la forme

O f)\ ÔV>

oli

U el \ étant des polynômes en x et z à eoejjlcienls rallimneh en y, s^tnnulant sur la courbe double ci sur la courbe de contour apparent de la surface sur le plan des xy.

6. Nous pouvons (aire diverses reniaicjiies au sujel de V et B.

En raisonnant comme au n'' 3 du Cbapitre VII l (|). '^»>()), on déduit de ridenlité (.'>) que les périodes logarithmiques de Tintéiirale abélienne

fk (ly se rapportant à la courbe entre j)' et r

cl se raoportant à un point double de cette courbe, doivent être ties constantes, c'est-a-dire indépendantes de x. Or le calcul du résidu de A relatif à un point double de la courbe précédente est facile; ce résidu est égal à la valeur de

au point double, multipliée par

Or la valeur de (4). en un point double, dépend de la brandie

de courbe que Ton envisage passant au point double, puisque U et G s'annulent sur la courbe double. Cette valeur est éaale à

dU dV dz dy dz dy

. 0,. dG

Quant à -^ il a pour valeurs les racines de léqualion du second

Oy 1 1

degré

La valeur cbercliée est donc la valeur de Texpression suivante sur la courbe double

r ''^^" dy -^-y dz I ■ dz (5) — — :

dy-^en posant

D'après ce que nous avons dit, l'expression (5) doit avoir une valeur constante sur la courbe double. Si nous sommes dansée que nous avons appelé le cas général (voir p. 208) où 11 n'est pas une fonction rationnelle de x^ j', :• quand le point [x, j', z) se déplace sur la courbe double, le radical R sera susceptible d'avoir changé de signe, quand (^, J', :;:) partant d'un point déterminé "de la courbe double y reviendra, en étant restée sur cette courbe. Donc, dans ces conditions, pour que (S) reste constant, on devra avoir, en désignant par G la valeur constante de (5) sur la courbe double,

i oV ^ dG

ces identités ajant, bien entendu, lieu sur la courbe double.

De là nous allons tirer une conséquence importante. Nous pouvous mettre -p-, sous la lorme

<lx \ L, / oy \ G /

TlIÉOniE DES I>Tl^:(;i{ALES DOUBLES DE SECONDE ESF'fcCE. '97

et celle expression est de lii loriiic

Ox

■ oy '

en posant

^' é'Gciio,...-^,./-'

■■^rfi

où l'on a

U| est, comme U, un polynôme en x et r qui s'annule sur la courbe double, mais, de plus, nousaUons voir que

s'annule sur la courbe double. Ceci résulte de ce que

^)Ui ^ t)U,

sont nuls sur la courbe double, comme on le voit immédiatement d'après les relations (6).

Ainsi donc, nous avons un résultai plus complet qu'au n" o. Nous pouvons dire que l'on a l'identité (3), où, non seulement U et V s'annulent sur la courbe double, mais où de plus

s'annuletït sur celle courbe. On peut encore dire cpic les deux surfaces U ^ o, et V = o ont, comme li^^ne double, la ligne double de f.

7. Nous allons faire une remarque antilogue concernant la ligne de contour apparent G de la surface relative au plan des xy.

Partons toujours de l'identité (3). Nous coupons la surface par le plan j^r=j/, et nous envisageons un des points de rencontre M de ce plan avec la courbe C. Considérons alors ce point M sur la courbe

En intégrant les deux membres de (3) dans le plan de la variable

29S cmai'HIîe X.

complexe x le long d'un circuit qui enloure deux fols le point M, nous aurons zéro clans le premier membre; le premier terme du second membre donnera également zéro. Pour le second terme, la (juantlté, sous le signe -— > donne au facteur 4"' pi't^s la valeur parfailemcnl déterminée en M

La dérivée par rapport à r de celte valeur devant être nulle, il en résulte que, le long de la courbe C, l'expression précédente a une valeur constante C.

Or, désignons par^, et ;, 1'^' et le ; du point M. Si Ion dévelo))pe y"(^. r, ^) suivant les puissances de x — .r, et c — ^),on aura

f{x,y,z) =f'j:,{x~xx )

et soit de même pour ^ (r. r, ::) développé suivant les puissances de X — Xi et c — ;;,

\{x,y, z) .:= V;/,r — ,r, )-+-yi/5 — ;, )^.. ..

Comme c — ;, est de l'ordre de \/ x — Xi. d'après réquation

y= o, il résulte delà que la valeur de l'expression (6') au point JM

est égale à

dx ' ' '

en entendant que, dans cette expression, x el z sont remplacées par ^, et ^,; celte valeur est précisément égale à C. Ecrivons alors l'idenlllé (.3) de la manière suivante :

Elle est de la forme

Q dXi OBi

f'.~dx ' ôf

iiii-oiiiE i):;s iMi';i.KAi.i;s doi blks di: seco-NDE Esi>i:f:E. .'.99

er) posant

A O -^1 o^ . . . o, /- .- <j '^1 . . . 'fr J;.

a\ec

Il résullc «Je la Naleiir rie ('/ <|ii('. dans le déveiopixinent de V( suivant les puissances de .r — ./•, cl c — ;,, il n'v aura pas de

terme du pieruii.T degré en c — c,. Donc — a une \;dcur Unie le lonj; de la courbe C. et il en est de même de ~-

Par suite, en ra|)j)rocliant ce résultat de celui que nous avons

obtenu au paragraphe précédeni, nous pouvons duc en revenant

à l'identité (3) du n" ,'), <[u'il est peiniis de su|)j)0.^cr que, dans

celle idenlilé,

sannulcni sur di courbe double, cl que

ont des valeurs Jinies le long de la courbe de c<>ninur ajtparent. iXous allons \oir maintenant comment on jjphI réduire encore les éléments arbitraires dans l'identité (3).