II. — Réduction plus complète et introduction du nombre
8. Nous supposons toujours que l'on ait l'ideiililt- (•>) () OS. <)\\
fi " '^-i- ■ <Jy '
où
A et B peuvent être inlinics le long des courbes se projelanl sur le plan des xy sui\aiil
30O CIIAPITRK X.
Nous allons faire disparaître ces lignes d'infini de A el B, et les remplacer par un nombre déterminé de lignes d infini.
D'après le ihéorème londamental du Chapitre IX (p. a'ji), on peut tracer sur la surface p — i courbes particulières
C„ G,. .... Cp i,
telles qu'il existe une intégrale de troisième espèce ayant seulement pour courbes logaritlimiques une autre courbe arbitrairement choisie, et la totalité ou une partie des courbes C^,, .... Cp i et de la courbe à l'infini; de plus, d'après la démonstration même, cette intégrale n'aura aucune autre Ugne d'infini en dehors de lignes du type y = const.
Soit A une courbe de la surface se projetant suivant
et le long de laquelle AelB deviennent infinies. On pourra former une intégrale de troisième espèce avant |)our courbe logarithmique A et la totalité ou une partie des courbes C précédentes et de la courbe à linlini. Cette intégrale sera de la forme
en désignant par
les projections des z — i courbes C, el par P el Q des poivnomes en X et ^ à coefficients rationnels en y. Les fondions P et Q s'annuleront le long tles couibes de la surface se j)rojclant suivant
distinctes de A et (\i'> courbes C/,, et sur la courbe double. On aura d'ailleurs la condition d'intégrabilité
el, de plus, le long de la courbe A, l'expression
lllfiolUK DI'S IMfaiUALKS DOLBI.FS DK SKCOM)!-; l'SI'kCE. 3o I
se rédiiiiM à une consliuile diHéreiilo de zéro, |)iii.S([ii'ellc représente, au facteur irù [)rès, une p(''riod(.' l()f;arithnii(jue de l'intégrale.
Revenons à l'idenlité (3)
Q çU. o\\ J'z ~ '>.r ^ Of'
et supposons que le p(jint (.^, .)', z) reste dans le \oisinagc diin point .M d'ailleurs arhilraiie de la courbe A. J^e premier niendjrc de l'identité [)récédente ne devenant j)as infini dans ces conditions, on j)ou rra écru'C
ôx ôy O.r
y.étaiil une fonction lioloinorplie de x' et -)-• dans le \ oisinage de M. Donc
est une intégrale de diflérentielle tolale a\ant autour du point !M la courbe A comme courbe logarillimi([ue, et l'on en déduit de suite <pie lexpression
i; G -^ ce. ...-fr./,
se réduit à une constante sur la courbe A, car elle re[)résenle au ilicteur ■'.-/ près une période logarithmirpie de l'intégrale. Or le second membre de l'identité (3) peut s écrire
^■^- \ ? 1 é."! • • • i'\o - 1 ./c / '>r V ? 1 A'i • • • A' 0 Jj
(] désignant une constante arbitraire. Or on peut choisir la con- >lante (> de manière que
s'annule sur A, d'après les deux remar([ues ci-dessus. Par suite, pour un tel choix de C, la fonction sous le sig'ne — dans l'expression (aj ne deviendra pas infinie le long de A, et alors il en sera nécessairement de môme pour la fonction sous le signe -— •
3o2 CIIAl'lTKK X.
Nous avons ainsi fait disparaître la ligne A couinie ligne d infini pour les jonctions (igurant dans 1 identité (3). En allant ainsi de j)roclie en proche, nous arrivons à une identité
O à\ oW où A el B ont la tornie
A' G^i ^^.,... gç.-\fz A' G A'i A'2- • • A'o-i/:
M cl \ étant des polvnonies en x el ; à coeflicieiils rationnels
en )'.
- et —
dcsiennent inlinies le l(jng de la courbe ('./. mais non suivant les autres courbes C/(. De plus, comme il arrivait au paragraphe ])récédenl,
sannulent sur la courbe double F, el
— et -
resleuL Hnies le long de la courba de contour apparent C considérée plus haut.
i). Nous avons en somme remplacé loules les lignes d'infini <jiii n'étaient pas connues a priai t par des lignes déterminées
Il reste encore à envisager, comme lignes d iiitiui de A et B, les lignes F' et C suivant lesquelles les deux cvlindres
cou[)enL la surlace, en dehors respcctn euiruL de la courbe double F el de la courbe de contour apparent C. Les considérations pi'écédenles sont applicables sans modifications; i^i\ peut se débarrasser de ces deux, lignes par des souslraclions de même nature, el il arme alors que, dans les expressions (7) de A et B, les polynômes
TlIKOUIi: DES IMÉ(iIlALi:S DOlIiLKS DK SECONDE ESPACE. 3o.3
Met N, eu garclaiil les propriélés indiquées, sont, de plus, lels (pi'ils s'annulent le long des courbes V et C.
11 en résulte une propriété cssenlielle des quotients
ces quotients se réduiseut ù des jiolvnomes en ^ el ;. En cfTel,
soit le quotient
il s'annule en gi'néral (c'est-à-dire pour un point arbitraire) sur la courbe double F, et, de plus, il reste fini sur la courbe F^ Ceci
suffit à établir, d'après des proj)Ositions classiques, que -„ est un polynôme (en x et z). La façon dont M se comporte sur les courbes C et C montre de même que — -r est un polvnome.
// résulle de là que V ulenlilé i 3 i du débat peut s'écrire O <)\ o\\
où
lM(.r. r. 3 ) ^ i\(.r. y. z )
fz f;-:ff,...irp-,fz
où M et N sont des polynômes eu ,r et z (à coefficients ralionnels en 1') s'annulant sur la courbe double. Les polynômes ^i , ^^^., .. , gr,i corres[)ondent aux |)rojections sur le plan des xy de o — i courbes déterminées G|, Cj, . . ., Co i et, pourj)^ arbitraire, les
quotients
— et —
deviennent infinis seulement suivant la courbe C^.
A'otis avons ainsi éliminé loiiie courbe d' infini de A cl 15 en deliois des courbes ■déterniiaées C,, Cj, . . ., Cp.i i^en laissanl de côté, bien entendu, les courbes y =:■ const.).
3o4 CHAPITRE X.
