III. — Recherche du nombre des intégrales doubles de seconde
espèce.
10. Les rédiiclions précédentes étant supposées efTectuées, la recherche théorique du nombre des intégrales doubles de seconde espèce ne présente plus de difficulté essentielle.
D'après ce que nous avons vu, toutes les intégrales doubles de seconde espèce sont réductibles à la forme
O C^r, )'. z) dx dv
où le degré du polvnome O en x,y^ z, qui s'annule sur la courbe double, est limité (voi/' Chap. VIII). Il s'agit de reconnaître, pour un poljnome Q donné, si l'on peut satisfaire à 1 identité
Q c)A dB
A et B ajant nécessairement les formes indiquées au paragraphe précédent.
Prenons d'abord le cas le plus simple, où pour la surface y,
on a
Alors A et B ont la forme
M et N étant des polynômes en x el z, à coefficients rationnels en y, d'ailleurs, M et N comme Q s'annulent le long de la courbe double.
11. Avant d'aller |jlus loin, indiquons une propriété des fonctions algébriques d'une variable. Soit
une courbe algébrique, et considérons l'intégrale
THÉORIE DES IMÉiiRALKS DOUBLES DE SECG.NDE ESI'tCE. ÔO.J
()îi Q est un polynôme en x et y s'annulant aux points doubles. L'Intégrale deviendra, en général, infinie aux //i points à l'infini, et aura en ces points des périodes logarilliaii([ues. Appelons O,, O:., . . . , 0,„ les m points à l'infini. On |)cut former une intégrale (le troisième espèce
qiix, y)d.r .
-jT-, (i = •>,..., /«),
où qi est un polynôme, et ayant comme seuls points singuliers logarithmiques 0| et O,, avec périodes égales à + i et — i . Il est clair alors f[u'en choisissant con\enablement les constantes
rintéîirale
Ci'll — . . — c,„(/,„
- cIm
n'aura plus de points singuliers logarithmiques à l'infini, et sera, par suite, une intégrale de seconde espèce. On aura donc, en désignant par
II, h. ..., U„
les coefficients de dx dans un système de ip intégrales distinctes de seconde espèce
en posant
et II désignant une fonction rationnelle de x et j'. l'2. Appliquons ceci à la courbe entre x cl z
renfermant le paramètre y. Toutes les opérations précédentes peuvent être appliquées à la fonction ralionnelle de x et z^
N(.r, V. :■ ) tl '
elles sont elles-mêmes rationnelles, les m points à l'infini étant
3o3 CHAPITRE X.
dislincls au point de vue de la rationalité par rapport à j'. Dans la réduction précédente, les I et J seront des fonctions rationnelles déterminées de ^, y et z, les a et les c seront des fonctions rationnelles dej', et R sera une fonction rationnelle de x^y et z. Soit donc, dans ces conditions.
-77 — aj 11 -^ -r- Cliplîj, -:- Co J 2 -;-■ • • "T- C„j J /„ -:- — — >
et écrivons l'identité sous la forme
./c (Ar \ (0' / Ov \ ôx }
On voit que Ion a
en posant
Les I et J sont déterminés; il s'agit de voir si l'on peut satisfaire à rideiilité (8) en prenant pour A, une fonction rationnelle de x^ y et r, et pour les a et les c des fonctions rationnelles dej)'. INous avons maintenant à écrire que la dilTérence
est la dérivée par rapport à x d"une i'onction rationnelle de x, y et z. Dans ce calcul, j- joue le rùle de paramètre, et nous avons à écrire qu'une fonction rationnelle de ^ et ^ relative à la courbe f{x,y, z) = o est une dérivée de fonction rationnelle. Les conditions exprimant ce fait sont bien connues; elles nous donnent ici
relations linéaires entre
et leurs dérivées premières. Aucune irrationalité par rapport à y ne s'introduit et ces relations contiennent rationnellement )'. Ces relations sont bien distinctes, et Ton pourra certainement
en tirer
(la, da.2 da-î,, dr, de.,,,
dy dy uy dy dy
en fonclion linéaire des rt el des c, les eoefncicnls élaiil ralionncls en 1'. r^es /?? — i relations concernant les points à l'infini contiendront seulement les dérivées des c, dont elles donneront les valeurs en fonction de r; les "y-p autres relations contiendront les a et les c ( ' ).
Soit (S) le système de relations que nous venons de former. Si l'on peut y satisfaire en prenant pour les a et les c des fonctions rationnelles de r, on pourra mettre ^7 sous la forme demandée.
(') Il n'est pas sans intérêt de remarquer que le problème que nous venons de traiter généralise le problème fondamental relatif à l'existence des intégrales de (liiïérentiellcs totales de seconde espèce (transcendantes). Reportons-nous au 'i'ome I (page 164 ). Il faut chcrclier si l'on peut déterminer les fonctions rationnelles f/i, «;, ..., fl„ , tic J', de manière que les pi'riodes de rintégralc
^tQi + .--^^,,,0.,,
dx
ne dépendent pas de j'. Vvec nos notations actuelles, on aura
D'autre part, soit
fz ' Ji
f\),dx~ \,cly
une intégrale de seconde c-pèce (transcendante). On peut supposer, comme il a été vu, que
B, = «,!.- -...-:- rt,„Lj,.
*t nous avons l'égalité
()x ôy
C'est l'égalité du texte, en supposant Q identiquement nul, ainsi que les c.
i'rofitons de l'occasion pour compléter l'analyse de la page i(>5 du Tome I, relative à la formation des équations diflerentielles linéaires devant donner les a. On y parviendra de suite en remarquant que l'intégrale abélienne
relative à la courbe entre a: et -
doit se réduire à une fonction rationnelle. En appli([uant les conditions classii[ues dans la théorie des fonctions abéliennes, pour qu'une intégrale abélienne soit algébrique (par exemple les conditions données par Weierstrass), on formera de la manière la plus simple le système des équations din'ércntiellcs linéaires relatif aux a.
3o8 CHAPITRE X.
Ceci résulte de ce que si une fonction rationnelle
de x,y, z remplit les conditions pour qu'elle soit la dériv'ée d'une fonction rationnelle de x et z, ces lettres étant liées par la relation
elle pourra être regardée comme la dérivée par rapport à x d'une fonction rationnelle de ;r. j' et ;. Soient, en effet, pour ^ = .Ty, les m racines ^,, ^j, .... -,„ de l'équation
formons la somme
la lettre jK étant regardée comme nn paramètre dans l'intégration. La fonction U est une fonction rationnelle de x, y et z. et l'on a
ôx
On a donc simplement à recJiercher si un système de
équations différentielles linéaires à coefficients rationnels entre les a et les c peut être vérifié par des fonctions rationnelles. C'est là un problème classique. On est naturellement conduit à se demander si l'on pourrait trouver plusieurs systèmes de valeurs rationnelles des <7 et c satisfaisant aux relations (S); s'il existait deux tels systèmes de valeurs, leur différence conduirait à une expression B de la forme
J-> = a. 1 1 -î- . . . -7- Xo/, l-2p -T- "l'a J 2 ~î~ • ■ ■ "^ Y'" "t :
les a et Y étant rationnels en y, à laquelle on pourrait associer une fonction rationnelle A de x^ y et ^, telle que
Ox oy
L'intégrale
Bdx — X dv
serait une intégrale de difTérenticlle totale, ne pouvant avoir à distance finie que des courbes logaritlinii([nes correspondant au\ équations y = const. On peut faire disparaître ces dernières en retranchant de A la dérivée d'une expression convenable de la forme
^G/]og(r — ai) (les G et les a étant des constantes).
Supposant rintégrale ainsi préparée, celle-ci ne pourra avoir que la courbe à Tinfini comme courbe logarithmique. Or^ une intégrale ne pouvant avoir une seule courbe logarithmique, elle sera nécessairement une intégrale de seconde espèce, et, jiar suite, ou devra avoir nécessairement
Si la surface ne possède pas d'intégrale de seconde espèce (transcendante), il faudra enfin cpie les a soient nuls, et, par suite, il ne peut y avoir deux solutions différentes pour notre j^roblème. Il en serait autrement si la surface avait des intégrales de seconde espèce, mais on volt alors immédiatement cjuelles seraient les formes de B et A.
^ 13. Dans le problème posé au n" 10, nous avons supposé 0 = 1. Dans le cas où p est c[uelconque, la solution va reposer sur ime analyse analogue. Considérons la courbe C/ et formons, relativement à cette courbe, une intégrale comme celle de la page i3a (Chap. IX, n° 2)5 si H/ est le coefficient de dx dans cette intégrale, nous avons donc une intégrale abélienne
H, d.r (H/ rationnelle en .r, y, z),
relative à la courbe entrer et c
ayant pour points singuliers logarithmiques le point à l'infini O,, et les points de la courbe C/ ayant la valeur considérée du paramètre y.
3lO CHAPITRE X.
Ceci dit, revenons à lidentilé
Q àX an
Jl " â.c "^ oj '
où A el B ont les valeurs considérées au n" 9. On pourra mettre B sous la forme
(9) B = aili-+-. . .-+-a2/J2/;-w Y2J2 + . • .
