T IT U

' ^ rJx

R étant rationnelle en x, j', :; ; pour l'établir, il suffit de s'appuyer sur une extension immédiate du résultai énoncé au n"^ 11, en remarquant que, pour la fonction B regardée comme fonction rationnelle de X el 5, les résidus correspondant aux points M de la courbe C/ correspondant à une valeur arbitraire de y sont égaux entre eux et indépendants àey. Ce dernier point se démontre en recourant à une considération dont nous avons déjà fait souvent usage sous des formes variées. En intégrant, pour une valeur fixe donnée à y, dans le plan de la variable x autour d'un point M les deux membres de l'identité

Q oiA <m

le premier membre donne zéro, ainsi (jue --> et, par suite, la dérivée par rapport \x y du résidu de B relatif au point M est nulle, c'est-à-dire qu'il ne dépend pas dey.

De là résulte que dans l'identité (9) les 7j sont des conslanles, les a el les y des fonctions rationnelles de jk-

En écrivant comme plus haut

nous avons une itlenlité de la même forme

Q ^A, dB,

f-i ~ àx ■ ôy

avec

r., = a,Ii-F.

• • "f" ^2/J ' ip "+" '[i J 2 ~i~ ... -1- Y/;; J /;

Ci H, -H. . .-t- Cn i IL

ÏIIÉOIUE DES IMÉCiR.VI.ES DOIBLES DE SECONDE KSPfeCE. 3ll

les c élanl des conslanleSj les a el les -' des fondions ralionncllcs de r.

1 ï. La question est donc de savoir si ion peut satisfaire à l'identité ((o), avec une valeur de J)i de la forme indiquée. Xons n'avons qu'à |)rocéder, comme au n" 10, en écrivant que la différence

Q ÔBt

est la dérivée j)ar rapport à j: d'une fonction rationnelle (]c .i\ y

et z. Ceci nous donnera

ip H- /« — I

relations linéaires entre lésa, les*', leurs dérivées premières et les constantes c,, c^, . . ., Cp i ; les coefficients de ces relations sont rationnels en y.

Le problème est donc ramené à reconnaître si Ton peut dé'lerminer les constantes c, de manière que les équations linéaires précédentes puissent être vérifiées par des fonctions rationnelles a et V de y, cette question ne présente aucune difficulté tliéorif|iie.

On reconnaîtra, de plus, par un raisonnement analogue à celui du n" 12, que, s'il est possible de satisfaire à l'identité (lo), ceci ne peut en général se faire que d'une seule manière.

En résumé, si l'on connaît un système de courbes C, il est possible de reconnaître 5/ une expression

(^ peut se mettre sous la Jorme

et l'on peut, par suite , dénombrer les intégrales distinctes de seconde espèce.

lo. Ajoutons quelques reinarcpies importantes. A cliacjue courbe Cj correspond une expression ■^-■, où Q est un poljnome en x^ y et ^, susceptible de la forme indiquée.

Considérons en efTet les courbes

C, Cj, .... C

el adjoignons à ces courbes une courbe déterminée, d'ailleurs arbitraire, "'. On peut former une intégrale de troisième espèce ayant pour courbes logarithmiques les lignes C,-, la courbe v et la courbe à Tinfini. Si la courbe y est prise arbitrairement, chacune des courbes Ci sera effectivement une courbe logarithmique, c'està-dire que la période logarithmique correspondante ne sera pas nulle. Désignons cette intégrale par

r P dr-hQ dy

r étant un polynôme en x ç,\. y qui, égalé à zéro, donne la projection de -' dans le plan des xy . I* et (^ sont des polynômes en x et z à coefficients rationnels en jk, s'annulant sur la courbe double et sur les lignes d'intersection avec les surfaces des cylindres

.•?'l = O, .... grj-X — O. r = O,

on dehors de Ci, C^, • • • , Cp i et y. La condition d'intégrabilité nous donne

dr U'i ^. • • • ^p-1 iVc / <>y U. ^2 . . . ^p-i r/i / ""■

Décomposons la fraction rationnelle de x et r

en éléments simples, en la regardant comme nne fonction rationnelle de X. On aura

J> el les A étant des polynômes en x à coefficients rationnels en j- Nous avons alors