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13. Soit g',] une série spéciale complète, et soit I* un point lixc (le /n'appartenant pas à toutes les 'fms qui déterminent un groupe G„ de la série. J^e premier théorème que nous avons en vue est le suivant :

La série complète somme du point P et de g^^ est de dimension /■, et non de dimension supérieure.

Pour le démontrer, menons par le point P une droite quelconque L (|ui coupe f en m — i autres poinis a. Par V et par un groupe G„ de la série, on peut faire passer une '^m-^-, formée d'une '■?'«-3 passant par G,2 et de la droite L; d'ailleurs l'adjointe ':im-^ rencontrera y en dehors de G„ en des points [î qui, par hypothèse, ne comprennent pas P. La série complète somme de P et de g^n s'obtiendra au mojen de toutes les adjointes d'ordre m — 'i passant par les points a et |B. Or, ces adjointes d'ordre m — -i ajanl m — I points a sur L, contiendront cette droite, et il ne restera à considérer que les adjointes d'ordre m — 3 qui déterminent précisément la série g^^^ complète. La série complète somme de P et de g''n est donc bien de dimension /• et non de dimension supérieure.

Symboliquement, nous pouvons donc écrire

On doit remarquer que si P appartenait aux points |3, les 'o„^2 se décomposeraient bien encore en la droite L et en les adjointes 'f /«:!) mais celles-ci ne seraient plus assujetties à passer par P; donc la dimension de (P -f- g'^^) serait supérieure à ;•.

li. ~Nous avons vu que si la série complète ^^^ était spéciale, on avait n — /'=/> — i (n" M). Le second théorème fondamental sur les séries spéciales est en quelque sorte la réciproque de cette proposition. Son énoncé est le suivant :

Soit o'^ une série quelconque [complète ou non)^ si l'on ci

n — r i^p — 1 , lu série est spéciale.

Il suffit évidemment de supposer que la série est complète. Soit donc g"^^ une série complète pour laquelle n — ''~p ■ — i • Suppo-

3o CHAPITRE II.

sons que le théorème soit démontré pour les séries de groupes de moins de n points. Prenons un groupe G de ^^^, et soit P un de ses points iion commun à tous les groupes formant g'^/, désignons par 7. les autres points de G. Ces points a déterminent une série complète g^^Zl de degré n — i et de dimension /■ — i , et, par hypothèse, cette série sera spéciale puisque

Cela posé, si les adjointes d'ordre m ■ — 3, passant par les points a, ne passaient pas par P, la série normale somme de P et de g^iZ\ qui est g'^^ serait de dimension /■ — i seulement, en vertu du premier théorème, ce qui est contraire à l'hypothèse. [*ar suite, le groupe G est sur une adjointe d'ordre m — 3 et le théorème est démontré.

io. Voici quelques conséquences importantes des théorèmes précédents :

La série canonique a la dimension p — \ . — Cette dimension est tout d'abord au moins égale k p — i [n" 11, inégalité (:i)]. Supposons qu'elle surpasse ce nombre. Il existera alors une série spéciale ^^tïo (^ = o)- En lui adjoignant un point fixe, on aurait, en vertu du premier théorème, une série g^^Vi^', celle-ci serait spéciale, en vertu du second théorème, puisque l'on a

ip — i — p — zZp — x,

ce qui est impossible, puisque son degré est ip — i.

Il n'y a pas d'autre série g^ZL, qii^e l(i série canonique. — En effet, une telle série satisfaisant à l'inégalité

{lp — '2) — {p~l)Zp — i,

est spéciale; elle doit donc être contenue dans la série canonique, et, par suite, coïncider avec elle, puisqu'elle est de la même dimension.

La série canonique n'a pas de points fixes. — Supposons en effet que cette série ait un point fixe A sur y. En retranchant A, on aurait une série g^p-;n et, en adjoignant alors à cette dernière

LA GliOMKTIUE SUK UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 3l

lin poinl arhilralrc P, on oliliendrail une série g'!!',L, distincte de la série canonique, puisque tous ses groupes ne contiennent pas A, ce qui est impossible.

Remarquons d'ailleurs cjue les cp„;„:j qui déterminent la série canonique peuvent avoir des |)oints communs fixes en dehors de/: telles sont, par exemple, les '-p,„:î d'une courbe du sixième ordre avec huit points doubles.

Pour une série complète non spéciale, on a n~ r^=p. — On a, en effet, dans ce cas (n" \\ ),

Il — /• ^-/).

Si donc n — ■ r était inférieur à /?, il serait égal h p — i au moins et la série serait spéciale. Comme exemple, la série non spéciale i,''2^,2-H///a déterminée par toutes les adjointes d'ordre m — - 3 -f- a (a^' i) a pour dimension /■ = p — ■ y + ma.

16. Voici encore une conséquence imjiortante relative au «e/i/Y^ (V une courbe algébi-ique irréductible. Pour une courbe ayant seulement des points multiples à tangentes distinctes d'ordre /, le genre y^ a pour expression

Lorsqu'il s'agit d'une courbe ayant des singularités quelconques, son genre /> est, par définition, celui d'une courbe n'ayant que des points multiples à tangentes distinctes à laquelle elle correspond par la succession étudiée de transformations quadratiques. Mais, pour que cette définition soit acceptable, il faut être assuré que les genres p et p' de deux courbes à singularités ordinaires (pour lesquelles par suite ces nombres sont définis) sont égaux, si les courbes se co/respondent point par point. Pour établir ce théorème fondamental, il suffit de considérer sur la première courbe une série complète non spéciale «^^ et dont tous les points sont mobiles.

Nous prendrons n supérieur à o.p — 2 et à 2p' — 2; à cette série correspondra sur la deuxième courbe une série g''^^ non spéciale et complète. D'où l'on conclut

Il — /• = p, n — /• = p' ,

32 CHAPITRK II.

et, par suite,

Remarquons encore que, lorsque des courbes se correspondent point par point, une série spéciale complète g',] se transforme en une série spéciale.

On a, en effet, sur !a première courbe,

donc aussi sur la seconde. Ainsi la série canonique se transforme en une série cnnonicjue.