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THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. 3l3
Envisageons iiiainlenanl l'expression
Elle ne devient pas infinie le long de la courbe C/, puisque, d'après l'idenlité précédente, elle est égale à une expression n'ajanl pas C/ comme ligne (rinfini. Elle ne devient infinie à distance finie (en dehors de courbes j'= const.) c|ue pour les points de la courbe de contour apparent désignée par C (n" 9).
Ecrivons l'expression sous la forme
t'-ï' V ffij'z
oyUifz
M et Ps élant des ])olvnomcs en x et z, à coefficicnls rationnels en T, et s'annidant sur la courbe double ainsi rpie sur la seconde courbe de rencontre du cvlindre gi(x, ^■) = o avec la surface.
La forme de l'expression (i i), quand on ne développe pas les opérations, est immédiate; c'est
$ étant un ])oIvnome en .r et :;. à coefdcienls rationnels en i'. (]ette exj)ression n'a pas la form:', habituelle pour nous, où /' figure au premier degré au dénominateur. Nous allons voir que ^*()n peut déterminer deux poljnomes U et V en x el z- tels que la somme
soit de la l'orme voulue
Tir. r. z \
1 étant un poljnome en x d z^ k coefficients rationnels en j', s'annulant sur la courbe double. Imj)osons d'abord à U et A de s annuler sur la courbe double; ensuite l'expression (12) peut s'écrire
^7 W-^ f'z ^ Oy J'J i^l\ôx J-, ôy f, ]
d /M + U,.?-A ô /N + V.^-y- /c y ^ ^ V fi .
3l^ CHAPITRE X.
Nous réaliserons la condilion cherchée, si
M^U^-/ et N^-Va',-
s'annulent sur la courbe C de contour apjiarcnt, et- cette condition est évidemment réalisalile. De là nous lirons la conclusion qu'à une courbe C/ on peut faire correspondre une expression
fi égale à
les polynômes M, et N, en x et z s'annulant sur la courbe double, et les C[uotienls — et "-— étant infinis seulement le long de hi courbe C/(en dehors de courbes )' = const.).
On peut aller un peu plus loin. Le polynôme T/ en x et ^ conlientjv seulement rationnellement; soit
T,(ar, j, ^) =
P étant un polynôme en x^ y et c, et ~{y) un polynôme en y. On a donc le quotient
(iJj
-^y)fi
Comme l'intéiïrale doidjle
est manifestement de seconde espèce, on peut (uo//- Chapitre VU) soustraire de (i3) une expression
à / .\(t, y, z)\ ô /BC.r. y, z.)
A et B étant des |)olynomes en x^y et c-, et -, un polvnome en y^ de telle sorte que la difïerence ail la forme
Çli{x,y,z\ Q< étant un polvnome en .r, j)', c i,\nny\\àn\. sur la courbe double.
THIÏOIUE DLS 1.MÉ:;RALI:s DOL'BLKS I)K SECO.NDK ESI'iXE. 3j5
Finalemenl, nous avons une idcnlilé de lajorme
M/ el >i, ajanl les iiiénies propriélés que les |)olynoines désigné; plus haut par M, el IS , . Le polynôme Q/ n'est d'ailleurs certainement pas nul identi([iiemcnt sui- la surface, car rintégrale
serait une intégrale de diderentielle totale, n'ayant (eu dehors de courbes )^ = consl.) d'autres courbes logarithmiques que la courbe C/ et la courbe à Tinlini, ce (|ui est impossible. [La courbe C/ sera bien une courbe logarilhuiicpie eOcctivc, car elle 1 est ()0ur l'intégi-alc auxiliaire i v. i.J
J3e plus, et pour- une l'aison analogue, aucune condjinaison linéaire à coeldcienls conslants
CiQi-...-(:p-iQ,, , .. ..
jT U<^s *-" n étant ]jas tous nuls),
ne peut se mettre sous la (orme
^■'' \J-J <Jy \f"-J
k;» U et V étant des pol\nojnes en j; et;;, à coeflicieuls rationnels en j'.
IG. Aux courbes C,, Co, .... Cp i correspondent ainsi des expressions
réductibles à la somme de deux dérivées partielles. Toute aulie expression
fz
(Q |)olvnome en .r, jet z s'annulant sur la courbe double) réductible à une telle somme sera de la forme
A,Q,-...-i-Ao-,Q,-, ù /U\ ù /V
n ' OxKfl)'^ ôy\f'J'
3l6 CHAPITRE X.
les A étant des constantes, U et V étant des polynômes en x et z (« coefficients rationnels en j-) s'annulant s///- la courbe double.
On s'en rend compte aisément, en se reportant à la forme
de ^7 donnée au n" 9. K suffira de décomposer le f|ui)tieMl
en éléments simples (en le regardant comme une fonction rationnelle de x) pour av^oir la forme ci-dessus.
17. Toutes les considérations que nous venons de développer sont utilisables quand on a pu déterminer un système de courbes
jouissant des propriétés fondamentales relativement aux. intégrales de différentielles totales de troisième espèce. Elles sont numériquement applicables sur un exemple donné, mais elles ne permettent guère d'énoncer, sur le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde es|)èce, des propositions générales. C'est en les combinant avec l'étude des périodes des intégrales doubles, que nous obtiendrons dans le Chapitre suivant quelques lois importantes. Pour le moment, nous allons faire quelques applications à des cas particuliers très simples, qui nous donneront l'occasion de faire une remarque générale sur Je nombre pu des intégrales doubles distinctes de seconde espèce.
