IV. — Étude de quelques cas particuliers
18. Nous avons déjà eu Toccasion d'utiliser la facilité avec laquelle s'appliquent les théories générales aux surfaces dont l'équation est de la forme
A la vérité, elles ne rentrent pas dans la catégorie des surfaces que nous avons appelées à singularités ordinaires, mais cependant avec peu de modifications les théorèmes généraux trouvent encore leur a|i|)lication (voir, en particulier, Chap. IX, p. sfS). Ainsi, toutes les intégrales doubles de seconde espèce, relatives à
THÉORIE DES INTÉGUALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. SfJ
la surface précédente, sonl réthiclibles à la forme
l'i .r, y ) dx cly
in
'jy^^ï)
V élanl un polynôme en x et y.
De plus, le degré du polynôme P est limité. On le montre par une analyse analogue à celle delà page 182 de ce \ olume, en soustrayant des expressions de la forme
U et V étant des polvnomes en x ely.
11 sera, en général, simple d'écrire cpie l'intégrale double (i4) est de seconde espèce. Prenons, par exemple, le cas où /(x^j') serait un polynôme en x el y de degré 2/?, en supposant rpie la courbe
réductible ou non, n'ait que des points doubles à tangentes dis-
linctes, et n'ait que des points simples à linfini. L'intégiale reste
Jinie j)Our .r et jk finis (le cas des points doubles de lacourbey'^o
se traite comme le cas des points doubles isolés dune surface,
page 121, du Tome I). Il reste à étudier les points à l'iniini; on
posera à cet effet
Si l'on a
lintégrale se trouvera ramenée à
Xy-v'F(X7Y^
Le seul cas à examiner est celui où l'enlier v. est posilil. En appliquant les indications de la théorie générale, on ramènera, par des soustractions convenables, ce cas à celui où ;j. ^ 1 , et l'on doit alors écrire que les résidus de l'intégrale
Q(X, \ )d\d\' 'x/fTxTT;
3l8 CHAPÎTUE X.
relalifs à X = o, sont nuls, ce f|ui se fera en écrivant que rinlégralc livpcrellipliquc
se rcJalt à une fonclion algébrique.
On a supposé plus haut (\ne J\x,j') était de degré 2 p; si y est de degré 2 /? + i dans la surface
il suffira de poser
pour avoir une surface
où/, sera de degré pair et jouira des propriétés indiquées.
19. Aous nous l)ornerons, pour le moment, à examiner un cas 1res particulier, où nous pourrons utiliser quelques résultats du (jluipitre précédent. Faisons seulement une remarque générale. Nous avons envisagé (p. 253) le nombre p relatif aux surfaces spéciales ( ' )
Si ce nombre 0 est éizal à zéro, on aura le résultat suivant : Toule expi cssion
susceptible de se mettre sous la forme
ôx ' ôy j)0urra s'écrire
M et N étnnt des polynômes en x à coefficients rationnels en ^\
(') l'uiir ces surfaces spéciales, le nombre 0 présente une grande analogie avec le nombre désigné par la même lettre pour les surfaces à singularités ordinaires: aussi avons-nous conservé la même notation, quoiqu'il n'y ait pas d'identité à établir entre les deux nombres. Ici le nombre 0 peut être égal à zéro, taudis que précédemment il était au moins égal à un.
THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. Sig
20. Envisageons, en parliciilicr-. les surfaces de la page 2;4,
où/(^') el f{y) sont des polvnomcs arbitraires de degrés ip + i
Par (les réductions tout élémentaires, il est clair nue toute intégrale double de secomle espèce est réducliblc à la forme
P(.r, j^) dx dy
où P{x,y) est un polynôme en x et r, de degré 2p — i par rapport à X, et de degré 2q — i par rapport ky. On va montrer cpie, si les polynômes /et F ne sont pas particuliers, aucune intégrale de ce type n'est réductible à la forme
-— I dx dy.
Ox Oy /
En elFet, pour les surfaces précédentes, les seuls cvlindres
(où Y est un polynôme en x, de degré au plus égal à p), qui
coupent la surface suivant deux courbes, se réduisent k x := a
a étant racine de/. Donc A et B peu\ent être ramenés à la forme
J\x)-J- \Jf{x)¥[y)
\j étant un polynôme en x à coeflicients rationnels en jk- Mais le facteur /(x)'-' du dénominateur peut lui-méine disparaître, en relrancliant, par exemple, de B une dérivée partielle convenable par rapport à x. Finalement, en a|)pli(|uanl à ce cas particulier les métliodes générales de la section précédente, on voit que B peut être supposé de la forme
les a étant rationnels en j-. Si donc
p. ET S., II. 21
est susceptible de la forme
dx ày
on devra pouvoir déterminer les a lationnellement en >', de telle sorte que la différence
P(a7,jK) à
aiip2p-i
yJf(x)V{y\
regardée comme fonction de x^ soit la dérivée, par rapport à x^ d'une fonction rationnelle de x et \/f{x). Mais ceci est impossible, car, P[x,y) étant par rapport à j; de degré 2/7 — i, cette différence est de la forme
èi.r2/'-i.
les a dépendant dey seul. Or, une telle expression ne peut être la dérivée d'une fonction algébrique que si tous les h sont nuls. Donc, si l'on pose
P{x,y) = Ai^2/'-i -u. . .+ A2/,,
les A étant des polynômes en y de degré 2q — i, on devra avoir
s/Fiy) ày
mais ceci est impossible, car
/FÔÔ'
où Ai est un polvnome en y de degré 2q — ^ i, ne peut être la dérivée d'une fonction algébrique.
Nous arrivons donc à la conclusion suivante : Pour la surface
z.^- = /ix)F(y),
le nombre Oq des intégrales doubles distinctes de seconde espèce est égal à
Ceci suppose que les polynômes /(x) et F (j^) sont des polynômes arbitraires de degrés 2 /? -h i et 2^ -(- i.
21. Arrêtons-nous plus parliculièrement sur le cas où /(.r) et V(y) sont du troisième degré. Nous pouvons énoncer alors avec plus de précision que la surface
aura quatre intégrales doubles distinctes de seconde espèce,
ou que
si l'on ne peut satisfaire à l'iV] nation
dx ^ dy
C étant une constante convenable, par une fonction rationnelle .27 dejK, ne se réduisant pas à une constante (t'Oï/* p. 256).
Soient, e?i particulier, les poiynoinesY et f identiques. Nous ne serons pas alors dans le cas précédent. On a vu que, en laissant de côté les sections x ^^- a [a étant racine de/), le nombre p est égal à l'unité. Nous aurons alors une intéffrale de la forme
A ^- B 3" H- GjK ^ D xy
dx dy
(A, B, C, D étant des constantes), qui sera réductdjie à la forme
dx dy.
Cette intégrale, qui ne se rencontrait pas tout à l'heure, pourrait se déduire d'une analyse analogue à celle du n'' lo de ce Clia|)itre; cette analyse fait correspondre au couple de courbes correspondant à
une intégrale de la forme indiquée. On l'obtient encore en appliquant l'identité classique déjà rencontrée {voir notamment page 262)
Le polynôme \][x,y) en .2; et ^ n'est [)as du premier degré par
rap|j()ii à x et par rapport à y, mais par la soustraction d'une ex|jression
â dx
'^yV^.f\^)fiy)\
où M et N sont des poljnomes en x et y, on peut ramener U à avoir la forme
A -h B r -f- Cy -+- D xy
(A, B, C, D étant constantes), et l'on a alors une identité
A H- Bar-f-GjK+ P-r»' ^V R(?,jO "1 <L\ S(.r,.r) 1 \/J{x)f{y) ~ àx\{x—y)z\ ' dy[(x—y)zj
OÙ R et s sont des polynômes en x el y. D'ailleurs R et S ne sont évidemment pas nuls identiquement, et il en est, par suite, de même du premier membre, comme il résulte du n° 21 du Chapitre IX (p. 263).
11 y a donc une intégrale de la lorme (lo) qui est réductible, et, par suite, le nombre Oo est diminué d'une unité. R n'est pas diminué de plus d'une unité ; c'est ce qui résulte de ce que l'on peut former une intégrale de différentielle totale ajant comme courbes logaritlimiques le couple de courbes correspondant à x =y, et un couple quelconque de courbes correspondant à un cylindre rjil^x, y) = G (page 261). Nous avons donc pour la surface
le nombre Oq égal à trois (po = 3). Ceci suppose toutefois, rappelons-le, que, pour le polynôme du troisième degré /{x ), les fonctions elliptiques correspondantes n'admettent pas la multiplication complexe.
