Les conclusions sont différentes si nous sommes dans un

cas de multiplication complexe. Bornons-nous comme plus haut

(page 260) à

Ry a alors deux couples de courbes logarithmiques, pour une intégiale de troisième espèce, jouant le rôle fondamental dans la

THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE. SqS

réduction. Il n'y avait tout à llieure que le couple correspondant à

Nous avons ici en plus le couj)le correspondant à

X ^yt (î racine cubique de l'unité).

à ce couple correspond une seconde intégrale du type (i5) qui est réductible. Sans qu'il soit nécessaire d'insister, on a ici

pour la surface

Le résultat précédent est général quand le polynôme /(.r) correspond à la multiplication complexe.

23. Ces exemples nous suffiront pour le moment. Ils appellent l'attention sur une circonstance extrêmement remarquable, je veux parler du caractère aritlimétique de l' invariant Oy. Ce nombre ne dépend pas seulement de questions de configurations €t de singularités relatives à la surface algébrique. La nature arithmétique des coefficients de l'équation influe sur sa valeur. Ainsi, pour la surface

le nombre Oq est égal à trois en général. Ce nombre s'abaisse à deux, quand les coefficients de f{x) satisfont aux conditions arithmétiques relatives à la multiplication complexe. L'invariant po est donc, à ce point de vue, bien différent du genre riemannien p relatif aux courbes planes, ou des genres géométrique et arithmétique />o- et p,i que nous avons précédemment étudiés. On comprend combien cette circonstance rend difficile la recherche de lois générales. Nous ferons dans le Chapitre suivant l'étude des périodes des intégrales doubles, qui a de nombreux points de contact avec les questions qui nous ont occupés ■dans ce Chapitre. Terminons, pour le moment, par quelques remarques sur la réduction des intégrales doul)les, en revenant à la surface à sino-ularités ordinaires.

V. — Quelques remarques générales sur la réduction des intégrales doubles.

24. Reprenant la surface à singularités ordinaires, nous reviendrons un moment sur la question de la réduction des intégrales doubles de seconde es|)èce. Rappelons les résultats obtenus. Il a été démontré au Chapitre VU que toutes les intéi^rales doubles de seconde espèce pouvaient être ramenées, par la soustraction d une intégrale

(A et B rationnelles en x, y et s), à la forme

dx dy.

où P est un polvnome s'annulant sur la courbe double.

On a ensuite procédé (même Clinpitre) à la rédiiction de ces intégrales; elles ont. par la soustraction d'une intégrale

(U et Vêtant des polynômes en x^ y et ;), été ramenées à la forme

(.7) ff^il^^,.,r,

OÙ le polynôme Q en x, y el z ne s'annulait pas nécessairement sur la courbe double, mais était de degré limité. Jl a été ensuite indiqué (Chap. VIII, p. 208) que ces dernières intégrales pouvaient elles-mêmes se ramener, par la soustraction d'une intégrale (16), à la même forme, avec degré limité, mais le poljnome Q s'annulant alors sur la courbe double. I^a démonstration de ce résultat est très simple, en passant par l'intermédiaire d'une transformation birationnelle qui dissout la courbe double, transformant la surface donnée S en une surface S. On a alors pour la surface S

une intégrale double qui ne devient plus infinie sur la courbe double. On peut faire la réduction en taisant disparaître la ligne d'infini, qui est la transformée de la courbe double, et, en revenant à S, on a une intégrale qui reste finie sur la courbe double. Les transformations du Cha|)ilre \^1I nous amènent à une intégrale de la forme (17), mais où Q s'annule sur la courbe double.

2o. Nous venons de rappeler le résultat précédemment obtenu, à savoir (jue toutes les intégrales doubles de seconde espèce se ramènent par la soustraction d'une intégrale (16) à la forme (17), où le degré du polynôme Q est liinilé, ce polynôme s' annulant sur la courbe double.

Allons plus loin, en nous servant des résultats du Chapitre actuel. Nous avons un nombre fini d'intégrales

Kh dx dy

(le polynôme Ra s'annulant sur la courbe double) auquel se ramènent toutes les autres. Une intégrale quelconque de seconde

espèce

r P(,r, y. z-)dx dy

Lf

#(le polynôme P s'annulant sur la courbe double) sera alors de la forme

les A étant des constantes. La forme de A et B nous est connue, car

appartient au type étudié dans les sections précédentes. On aura donc (n° 16)

P-SX/,R/, AiQ,-^...-t- Ap iQp„i ^/U\ ^/V\ f. " r. '^ àxKf'J^ ôyKjl)'

U et V étant des polynômes en x et :; (à coefficients rationnels en j') s'annulant sur la courbe double.

Nous avons donc la concliistnn suivante : Toute intégrale double de seconde espèce

\*( T. y. z') dx dy

(P étant un polynôme s'annuhint sur la courlie double) se ramène à un nombre limité d^ intégrales de seconde espèce

I\l, ( X, y, z )d.r dy

(le polynôme M/s'annulanl sur la courbe double) /:>«/•/« 5oa5^/'action cV intégrales de la forme

'-' ■ nwjù-¥^^

dx dy,

\J et \ étant des polynômes en x et z à coefficients rationnels en y et s' annulant sur la courbe double.

On peut évidemment supposer qu'aucune combinaison linéaire des intégrales (i8) n'est de la forme ( ly).