Sujjposons maintenant que l'intégrale double
r rV{x, r, z)dxdy (20) j I -—-^ ^
(P polynotne s'annulant sur la courbe double) ne soit jias de seconde espèce. Cette intégrale aura 2p résidus relatifs à la ligne à l'infini de la surface. Admettons qu'on puisse trouver 2 p intégrales doubles
Jj. Jj, •••• J2/)
de la forme précédente, telles que le déterminant d'ordre 2/:» formé avec 1 l-^^nsemble des résidus de ces intégrales soit différent de zéro. On pouri-;a alors de l'intégrale (20) retrancher une intégrale convenable
AiJi -h AoJo ^. . .-h A2/JJ2/,
les A étant des' constantes), de telle sorte que la difTérence soit
TEIÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DK SECONDE ESPfeCE. 827
une inlégrale de seconde espèce. On a doue la conclusion suivante :
On peut trouver un certain nombre s rV intégrales de la forme (20), soient
l.= J l^^'^'-^^y^^) dTdy (/=!,. i, . ..,.),
les polynômes V^ien (^, J', :■) san/iulant sur la courbe double, de telle sorte que toute intégrale (20) soit susceptible de se mettre sous la forme
les a étant des constantes, U et V étant des polynômes en x et z à coefficients rationnels en y, s' annulant sur la courbe double.
On peut d'ailleurs supposer que s est le nombre minimum, c'est-à-dire qu'aucune combinaison linéaire des I n'est susceptible de la forme (19).
27. Nous avons admis qu'on peut trouver une inlégrale de la forme (20), dont les ip résidus relatifs à la ligne à l'infini de la ^irface ont des valeurs arbitrairement données. Pour l'établir, considérons une intégrale abéliennc arbitraire de seconde es|jèce de la courbe entre x et z^
f{^^ y. 5) = o, qui soit de la forme
Pétant un polynôme en ^.7 et ;:, s'annulant sur la courbe double. Envisageons l'équation dilTérentielle linéaire E d'ordre ip, relative aux 2/v périodes de cette intégrale regardées comme fonctions de y\ nous avons déjà bien des fois considéré cette équation E, qui a joué un rôle essentiel dans nos tbéories. Plaçons-nous dans le cas, qui est le cas général, oit cette é<juation n' cul met pas comme intégrale un polynôme en y.
En désignant par to(j^) une période arbitraire de l'intégrale abé-
lienne (21), nous avons vu (Chap. \ JII) que
^ (y ) dy.
prise autour du point à l'infini, était un résidu de l'intégrale
double
P {x^ y, z) dx dy
If
Considérons ip périodes distinctes de (21). On a les développements autour de y = co
iJ , J y y. yk
Les ip fonctions f.01 sont linéairement indépendantes. De plus, il n'y a pas de combinaisons linéaires des oj/ qui se réduisent à un poljnome en y.
11 en résulte que, pour A- pris suffisamment grand, les ip expressions linéaires
(22) «laf^'-f- aa^l'^'"' -^-- • •— «A'^r' (/ = l , 2, . . . , 2jo)
au\ iudéterminées
sont linéairement indépendantes, car si , pour toute valeur de A", ces expressions linéaires n'étaient pas indépendantes, tous les déterminants d'ordre ip formés avec les a^*^ seraient nuls, et l'on pourrait former une combinaison linéaire des to/ se réduisant à un polynôme. Le nombre A- étant pris suffisamment grand, envisageons l'intégrale double
OÙ Ton pose
(pCjj^) = <7, jK^'^' -^ a-2y^'-- H- ... — «A-i V -f- «A-,
les a étant des indéterminées. Les 2/> résidus de cette intégrale double sont, au facteur 2tu près, les expressions (22). D'après
TlU'ORIE DES IMÉGll.VI.ES DOUBLES DE SECO.NDE ESPÈCE. 829
ce qui précède, on peul clioisii les iDdélerniinées a de manière que ces expressions aient lellcs valeurs (|ue l'on veut, puisqu'elles sonl linéaii'emenl indépendantes. Il est donc établi i\\x on peut trouver une intégrale double (20) ayant ip résidus arbitrairement choisis.
Celte remarque jouera dans la suite un rôle im|jortant (').
(') Nous nous sommes servis dans ce Chapitre du théorème fondamental de la page 24 1 où figure le nombre p. On peut faire, au sujet de l'analyse développée sur cette question au Chapitre IX, la remarque suivante, qui simplifie la démonstration de ce théorème. Il a été formé (page 2.39) une intégrale de différentielle totale
(a) fwdx^'^dy.
Nous avons dit que l'intégrale (a) ne pouvait avoir d'autres courbes logarithiTiiqucs que les courbes
et la courbe à l'infini sur la surface. En fait, la courbe à l'infini n'est pas une courbe logarithmique île l'intégrale. En effet, l'intégrale abélienne
dx
{y avant une valeur fixe arbitraire y), relative à la courbe entre ^ et z, fix.y, z) = o ne peut avoir, comme point singulier logarithmique à l'infini, que le point M {voir page 2.82); les m— i autres points de la courbe à l'infini ne sonl pas des points singuliers logarithmiques pour l'intégrale. Or les m périodes logarithmiques de (P) doivent être les mêmes pour les m points à l'infini de la courbe, puisque (a) est une intégrale différentielle totale, et que par suite pour les m points de rencontre de la ligne de l'infini de la surface avec le plan y =y la période logarithmique doit être la même. Il résulte de là que cette ligne à 1 infini n'est pas une courbe logarithmique de l'intégrale. Ceci exige que l'on ait
c, d, -^ c^d,. -h. . .^ Cy d'^ = o,
en désignant par d^, d.. d^ les degrés des courbes Cp C,, .... C-,. et cette relation sera nécessairement une conséquence des relations de la page 236 entre les K et les c.
SUR LES PERIODES DES INTEGRALES DOUBLES ET LEURS RAPPORTS AVEC LA THÉORIE DES INTÉGRALES DOUBLES DE SECONDE ESPÈCE (M.
I. — Sur les périodes des intégrales doubles de première espèce.
l. Nous avons déjà dit un mot au Tome T de cet Ouvrage sur les jjériodes des intégrales doubles, et notre point de départ a été le suivant. Prenons l'intégrale double de première espèce
If
0( X, y. z) dx dy
et envisageons la courbe entrer: et :; de genre/?, pour j^ arbitraire (i) f{x,r, z) =o.
Les ip périodes de l'intégrale (ici de première espèce)
sont des fonctions de j)', satisfaisant à l'équation différentielle linéaire que nous appelons E, et dont les points critiques b correspondent aux points simples de la surface où le plan tangent est parallèle au plan des z-x. Considérons un cycle F de la courbe (i),
( ' ) E. Picard, Sur les périodes des intégrales doubles dans la théorie des fonctions algébriques de deux variables (Comptes rendus, i8 novembre et 23 décembre 1901, tl Annales de l'École Normale supérieure, 1902). — Sur les périodes des intégrales doubles et leurs rapports avec la théorie des intégrales doubles de seconde espèce (Comptes rendus, t. CXXXVII, igoS, et Annales de l'Ecole Normale supérieure, igoS).
PÉRIODES DES IISTÉGRAI.ES DOl BLES.
se déforinanl avec y et revenant à sa posilion initiale quand y, ayant décrit un certain chemin lernié C, revient lui-même à son point de départ. On obtient évidemmentde cette manière un cycle à deux dimensions, (pu donueia naissance à une pchiode de l'intégrale double. Le cjcie T sera caractérisé par ce lait (pie la période correspondante
de l'intégrale (2) revient à sa valeur iiiiliahi, (piand y décrit la courbe C. Ces considérations généralisent celles que nous avons employées pour obtenir les résidus des intégrales doubles; dans ce cas, le cycle F se réduisait à un contour luiiniment petit autour d'un pôle.
