Nous allons étudier la forme analvtique de 1 intégrale
ny)df
prise le long du contour C Cette étude nous fera connaître certaines expressions analytiques remanpiables, qui nous conduiront d'elles-mêmes à généraliser le mode de génération des périodes de notre intégrale double.
Désignons par
6,, Ù.2, ..., bs
Ijs points criti(jues de l'é(piation dilTérentielle E (N désigne ici la classe de la surface).
JNous joignons ces points à un point «du plan de la variable j^, et nous considérons les difierents lacets «6,, aù-2t ••-, £iby formés,
comme d'habitude, d'un cercle inliniment petit autour d'un pointa et d'un chemin allant de a à ce cercle {/ig. i5).
Pour chaque point oiilique y = b, léquatioii fondamentale déterminante de E a une racine double. Cette racine double correspond (fo/r ï. I, p. 95) à une intégrale hoiomorphe û(y), et une intégrale non hoiomorphe ^i' (y) contenant un terme logarithmique log ( j" — 6), de telle sorte que l'on ait
f{y) étant, comme ^{y), hoiomorphe autour dey == b. Les ip — 2 autres intégrales, formant avec ù et Q' un système fondamental, sont holomorphes autour de y = b.
Ceci rappelé, tout chemin C partant de a et y revenant, se ramène à une somme de lacets parcourus dans un ordre quelconque. Désignons d'une manière générale par
la période de l'intégrale (2), hoiomorphe autour du pointy = bi, et qui correspond à la racine double : elle est parfaitement définie de bi en a sur le lacet.
Une période quelconque «(r) de l'intégrale (2), quand y tourne autour du point />/, se reproduit à un terme additif près de la forme
niiHiiy) (m,- étant un entier),
comme il résulte immédiatement de la forme de la période appelée tout à l'heure d'une manière générale Q'(y), toutes les autres périodes étant holomorphes autour de bi.
Donc, quand k décrivant un chemin fermé C revient au point de départ, l'intégrale considérée w(jk) de l'équation linéaire E s'augmente d'une expression de la forme
la sommation s'étendant à un certain nombre de points bi. Si l'inlésrrale w revient à sa valeur initiale, on devra avoir
^miiltiy) = égrale (3) / œ(7)f/x,
Quant à la valeur de Tiiitégrale
