PÉRIODES DES IMÉGUALES DOUBLES

le long" du contour C, elle est facile à calculer; sur le lacet abi^ il reste, après suppression de termes se détruisant à I aller et au retour,

nii j iii(y)dx, et, par suite, la valeur de V iiUégrale (3) est

Dans cette expression û/t )') est définie sans aucune ambiguïté le long du chemin bia. D'ailleurs l'expression (4) ne dépend [)as du point choisi rt, comme il résulte immédiatement de l'identité

(5) ^^miQ.i{y) = o.

3. Les considérations précédentes appellent donc notre attention sur les expressions de la forme (4), correspondant à une identité de la Torme (5). Une question se pose d'elle-même :

Une expression (4), l'irlentité (5) étant supposée satisfaite, peut-elle être envisagée comme une période de l'intégrale

double

'Q(ar, r, z) dr dv,,

ir

Nous entendons par période de r intégrale double, de la manière la plus générale, l'intégrale prise le long A\in cycle à deux dimensions, c'est-à-dire d'un continuum fermé à deux dimensions à chaque point duquel ne correspond qu'une seule valeur de {x,y,z).

La réponse à la cjuestion posée est affirmative, comme nous allons l'établir. Soit donc l'identité

fG) in^9.x{y ) -^ . . . -i- m,.t>j(jK) = o (les m étant entiers),

entre un certain nombre de fonctions û, on va montrer quHl existe un certain cycle à deux dimensions, tel que la valeur de l' intégrale double

SI

Q (.r, }-. :; ) dx dy

334 CHAPITKE XI.

prise le long de ce cycle est égale à

(7) '«> / 'à,{y)dy^...-^m, / i>,(x)f//.

Cette valeur est d'ailleurs manifestement indépendante de la constante a.

Considérons 1 intégrale

m.oJ.iy)

de l'équation E, en désignant par 0', Fintégrale relative au point 6, déjà envisagée au n" 1. Quand y partant de a décrit le lacet b\^ rinlégrale m,0, s'augmente de

niiili(y).

Il faut interpréter ce fait analytique au point de vue de la o^éométrie de situation. Soient d'une manière "énérale sur la surface de Riemann entre x et :; donnée par l'équation

pour la valeur i', F, le contour correspondant à ii, (y) et F', le contour correspondant à ù, . Partons du contour

pour r = a; le cheminement de y se produisant, ce contour se déplace en se déformant, et, quand j' revient en a, on a le contour

mir'i«-i-mir'^

Il est clair que, pendant la déformation, on engendre ainsi une surface ouverte, mais avec le seul bord

et la valeur de l'intégrale doidjle correspondant à cette surface ouverte est

"h / '-^-i{r)dy.

De la même façon, les différents autres termes de la somme (7) correspondront à des surfaces ouvertes avec les bords

F" ajant la signilication analogue à F'^^ quand bi remplace b^.

PÉRIODES DES IMÉGItALES DOLBLES. 335

Nous avons donc s surfaces ouvertes avec les .s- bords indiqués. D'aulre part, pour y arbitraire, les s contours

/«i F], ni-2 T-2, . • . , rti^T^

limitent, sur la surface de Rieinaun,

une certaine portion P de la surface, comme il résulte de l'identité (6) fpii exprime que les s intégrales

ne sont pas distinctes.

Considérons, en particulier, la portion P", sur la surface correspondant ày ^= a. Cette portion P'^, avec les s surfaces oiaertes envisagées ci-dessus, forme une surface fermée, qui est un cycle à deux dimensions; la valeur de l'intégrale double sur cette surface est précisément l'expression (-) donnée par les s surfaces ouvertes, puisque sur la portion P'^, correspondant ày=:r/, l'intégrale est nulle. Le théorème énoncé est donc établi.

Il est important de remarquer que nous n'avons pas à nous préoccuper de savoir si la portion P" contient ou non des points à l'infini, puisque l'intégrale double dont nous sommes partis est de première espèce. Il eu serait autrement pour une intégrale flouble qui deviendrait infinie à l'infini puisque l'intégrale suivant P^ pourrait n avoir aucun sens. Nous |)arlerons de ce cas dans la section suivante.

4. On peut se demander si toutes les |)ériodes de l'intégrale double peuvent être engendrées au moyen des cycles à deux dimensions que nous venons de considérer. Nous allons établir que tout cycle à dimensions, situé tout entier à distance finie, est susceptible de la génération précédente. Nous emploierons, à cet effet, quoique dans des circonstances plus compliquées, le même genre de raisonnements qu'à la page 58 du Tome I de cet Ouvrage, quand nous avons étudié les périodes d'une intégrale double de fonction rationnelle pour un continuum fermé à distance finie.

Concevons donc relativement à la fonction algébrique :; de x

336 f:HAPITRE M.

ely définie par-

un cycle à deux dimensions si lue à distance finie.

Posons

T = .r, -+- ixo. y = jKi -^ 0'5 •

loule surface à deux dimensions sera représentée par deux relations entre .r,, x-i^ y^ et y>.

De même, le continnum critique C sera représenté dans l'espace à quatre dimensions réelles

par deux relations entre les quatre lettres x^^ x^^Vk et t^. Pour une valeur donnée àjKs, nous avons sur ce continuum un ensemble à une dimension de valeurs de jTi, .ro et Vj , que l'on peut regarder comme représentant un certain iiondire de courbes gauches a dans l'espace à trois dimensions

(Xi, ^2, yi)--

il faut d ailleurs à chaque valeur de .r,, x>^ yt, y^ associer la

valeur correspondante de z, de sorte que nous entendons par

courbe a le lieu de points (:r,, x.21 ji) pour une valeur de j^o avec

association des valeurs correspondantes de z-.

Chaque plan

y^ = const.

rencontre les courbes a en un certain nombre de points toujours en même nombre, à savoir : le nombre des points de rencontre de C avec un plan arbitraire parallèle au plan des zx.

Sauf pour certaines valeurs de j'o en nombre fini, l'ensemble des courbes a ne présente pas de points multiples; les valeurs de y.2^ pour lesquelles cet ensemble a un point multiple, correspondent aux coefficients de / dans les valeurs de y pour lesquelles le plan correspondant parallèle au plan des zx est tangent à la courbe C (et en même temps à la surface). Ces valeurs de y sont celles que nous avons constamment désignées par 6, et qui ont joué dans toutes nos recherches un rôle capital. Pour les valeurs de Vo correspondant au coefficient de / dans un des b.

l'ÈlUODES DES I.Mr;:(;KAI,KS DOIBLKS. 887

deux coiirlies y. ;niionl un point coriuniiii, torrnaiit un y)0\i\l doubb^ pour l'ensemble des courbes a. Soil, |>our' la valeur^ considérée

b = hi-h ib-i ;

pour y.> voisin de b-, el un peu inférieur', les courbes x dans l'espace (x,, x^, i', ) n'ont pas de point double, mais deux branches passent très près l'une de l'autre. Pour r;. = A-.., ces deux branches se rencoutreni, et pour j'o supérieur à b-^, elles ne se rencontrent pas, de sorte que, au moment du passage de y^ par 60, les (\e.\\\. branches se sont Iraversées; ce fait est à letenir pour ce qui va suivre.

Revenons à notre cycle S à deux dimensions. Celle surface étant tout entière à distance finie, il n'v aura de points de la surface que pour des valeurs de yo, comprises entre deux limites <-/, et a^ [a^ <C «2)' Quand j^ en croissant devient égale à a,, une courbe fermée correspondante de S commence à paraître, et l'on peut la représenter dans l'espace (j;,, X2, jv't).

Deux cas peuvent se présenter : ou bien cette courbe se rédiiil à un point, ou elle est la limite de deux courbes qui soni venues se confondre; dans toute autre livpotlièse, la surface S ne serait pas fermée. On peut faire abstraction de la première hypothèse, car, si pour ).j = (^/, la courbe se réduisaità un point, il arriverait #jue, pour y2 arbitraii^e, la courbe correspondante, extension de ce point, ne tournerait pas autour des courbes a, et l'on pourrait, par une déformation continue, réduire à zéro, sans rencontrer aucune singularité, une portion fermée de la surface qui pourrait être supprimée. Nous avons donc, poury.j=rti, une certaine courbe enveloppant quelques-unes des lignes a; quand y^ croît, cette courbe se dédouble, et l'on a ainsi, pour y.^ arbitraire, des couples de courbes qui, pendant la variation continue de y-,^ ne peuvent disparaître que deux à deux en venant à coïncider. Nous désignerons par C une de ces courbes, correspondant à une valeur d'ailleurs quelconque de y>- Faisons croître jKo depuis ai ; on aura ainsi une suite continue de courbes C, et la surface S pourra être ainsi décrite tout entière en faisant varier d'une manière continue y-2 (non pas nécessairement toujours dans le même sens) et en revenant en Ut avec la position initiale de C.

o. Nous allons malnlenant déformer S, en déformant chacune des courbes C. Figurons {fig. i6), pour une valeur de Vo. la courbe C et les lignes a dans l'espace (^,, x., j,)-

Fig. i6.

Tant que jo "C rencontre pas une valeur singulière désignée plus haut d'une manière générale par 60, on peut faire glisser en quelque sorte la courbe C, sans rencontrer les lignes correspondantes a, de manière à lui faire prendre une position F dans le plan

(K étant une constante fixe),

cette opération se faisant elle-même d'une manière continue quand y^ varie. Mais pour jo= b-^, on a deux lignes a, se rencontrant, et il peut arriver que l'on ne puisse plus déformer C en l'amenant dans le plany, = K, sans traverser a. C'est ce qui arn-

Fig. 18.

vera dans les figures 17 et 18, en supposant, dans la figure 17, que le plan y, = K soit au-dessous du point double A de a. Les deux figures précédentes représentent d'ailleurs les deux circon-

PÉRIODES DES INTÉGKALES DOIDLES. 33g

Stances essentiellement dilTérentes pouvant se présenter; les autres cas étant des combinaisons de ces deux cas.

Pour y.2 voisin de h., on pourra hien faire glisser C de manière à l'amener dans le plan y, = K., mais voici la circonstance qui va se présenter. L'opération qui amène C dans ce plan ne se fera pas (l'une manière continue à l'instant du passage de ja parla valeur Oo. En d'autres termes, pour jk2= <^2— £ et pour yo= 62+ s' (^ et ô' très petits), la courbe C,, et la courbe infiniment voisine C'^ correspondant à ces deux valeurs de y., n'auront pas été ramenées dans le plan y, = K. à deux courbes infiniment rapprochées.

La raison en est que deux branches de la ligne a se sont traversées quand jKo est passée par 63. Il est facile de voir dans quelle dépendance sont les deux transformées r^ et r'„ de Cq et C; après les glissements les amenant dans le plan y, = K.

Prenons d'abord la figure 1;. Le dessin suivant est fait dans le plan y, = jv; on désigne par m, et m. les points de rencontre

I^^ig. 19.

*avec ce plan des lignes a qui correspondent à y.^= b.^ — c et par m' et m.^ les points de rencontre avec le même plan des lignes a correspondant à y.. = b.-h z'. L'un des dessins correspond ky.,= b., —s et l'autre à r2 = ^2+ s'.

On voit de suite que le cvcle F; est équivalent au cycle V^ plus le cvcle correspondant à une courbe tournant autour de m, elnio.

Fig. 20. Fig. ,,.

Les circonstances sont difierentes avec la figure 18. On a alors les dessins ci dessus (/i-V. 20 et 21) : les contours T^ et T^ sont les mêmes, mais le sens de la flèche est changé.

34o CHAPITRE XI.

6. Ceci posé, suivons la défonnalion de la surface S obtenue en ramenant chaque courbe C dans le plan j', = K. Cette déformation se fait d'une manière continue, sauf quand j''^ passe par une valeur désignée par 62 et que l'un ou l'autre des cas du paragraphe précédent se présente. Supposons que nous soyons dans le cas de la ligure I", et gardons les notations du paragraphe précédent. Dans la surface déformée les lignes F^ et Tj, qui correspondent à deux valeurs très voisines dejv'one sont pas très voisines l'une de l'autre ; on passe d'une manière continue de lune à l'autre en déforinantro de Fo en Cq dans l'espace (xi , x.,. y{ . bi — î). puis en allant de Co en Cq sur notre surface initiale S, et enfin amenant C|, en F|, dans l'espace (.r,, Xo, J'i, b^-r ^')- Or, on peut réaliser autrement et d'une manière équivalente ce passage de Fq en F'^. Considérons, à cet effet, le cycle F^ qui est dans le continuum

(P) jK = K H- iibi—t)

et qui est sur la surface de Riemann entre ^ et :;

Faisons partir >' de la valeur ci-dessus, et faisons décrire à cette variable dans son plan un contour fermé autour du point b, dans un sens convenable, et en supposant (|ue sur ce contour la valeur de y 2 s'éloigne peu de b-y. Le cvcle Fo se transformera, d'après ce que nous avons vu dans bien des circonstances, par cette circulation en un cycle ayant la forme de F^, et qui sera, si l'on veut, Fg dans l'espace (.r, , Xo, • 1 . l'^o — s ) ; la surface engendrée pendant ce déplacement augmentée de celle qui correspond au transport de la courbe FJ, de l'espace (j?, , j7o, y^ , b-, — î) à la courbe F'^ de l'espace (a;,, X2, y\, b^-^- s'). Ce second mode pour passer de F,, à F'^j est équivalent au premier, c'est-à-dire donne la même valeur pour l'intégrale double sur les surfaces correspondantes. Nous avons donc fait dis/jarailre la discontinuité dans la déformation de la surface obtenue en déformant la courbe C en cycles dans le plan de la variable x pour

et, par suite, nous pouvons substituer à la surface S une surface co-onexe formée de lignes F, à la condition d'ajouter la portion

PÉRIODES DES INTÉGRALES l)<)l BLES. 0/41

dont il vient d'êlrc parlé el qui est elle-même formée de cycles correspondant à r = const. De là résulte que nous n'avons à envisager, pour- le calcul de la p('riode, qu'une intégrale de la forme

prise pour un chemin convenable de la variable y. Si donc, en décrivant notre surface cyclique S avec la courbe G, nous ne rencontrons, pour les valeurs singulières de j'2» ^ue le cas de la ligure 1-, la période sera obtenue par l'intégrale précédente, où (o(y) est une période de

Q( ./•, V-, z ) dj

prise le long d'un chemin fermé convenable, ce (|ui démontre bien le résultat énoncé et nous conduit aux formes étudiées au n" 3. Les choses se présentent sous une forme un peu dilFérenle dans le cas de la figure 18. Il n'est pas possible, en effet, de trouver un chemin dans le plan de la variable jk menant de Fy à T'y Nous allons calculer directement la valeur de l'intégrale double |)rise le long de la surface engendrée par le déplacement de la courbe Fy de l'espace {x^^ x^^yK-, ^2 — î) à la courbe F',, du même espace, après avoir passé par les courbes Co et C^,. Nous ne changerons pas la valeur de l'intégrale double si nous substituons à C^ et CJ, deux courbes de même forme mais très voisines de A, el les supposant respectivement dans les espaces

(a;,, .r,, j',, 60— £) et. (.ri, .f.,,/,, 6.^- s' ).

La surface en question pourra alors être engendrée en laissant d'abord JK2 égal a by — e et faisant varier y, et déformant en maintenant Fq, de manière que, jKi étant très voisin de 6, (en posant comme plus haut 6 — ^, + ib-,, et 6, étant 1'/, du point double A), la transformée F, de Fq soit de dimensions très petites et très voisines de A, puis ensuite avec ^2= ^^2-+- ^' -, on aura une surface résultant de la déformation de F|, et se terminant à une courbe V\ , avecjKi très voisin de 6,, (jui est de dimension: très petites et très voisine de :V; outre ces deux sui faces, il y aura des surfaces de dimensions très petites reliant F, à G,, puis G, à G', et enfin (>', àF', .

L'intégrale prise le long des trois dernièies surfaces est négligeable, c'esl-à-dire c[u'elle donne zéro quand les dimensions de C,, C, , r, et r'^ tendent vers zéro, et il reste comme valeur de notre intéi^rale sur la surface limite

f 'My)dy,

Q(t') correspondant au cycle F (c'est la notation déjà employée), et en posant

Les deux portions de l'intégrale ne se détruisent pas, il j a au contraii'e multiplication par deux, parce que le sens sur le contour a changé, comme l'indique la figure i8. En définitive, le passage de y.2 par b-^ amène le changement de signe de Q, en même temps qu'il faut ajouter l'intégrale ci-dessus: il revient au même de dire que l'on intègre

'(7) dy

le long d'un chemin qui passe parle point singulier r ^= b, w (j') arrivant au voisinage de ce point avec la détermination û(y) ; mais, après le passage de y |)ar 6, on doit changer le signe de w(-k).

On [)Ourrait donner une forme analogue au résultat trouvé plus haut relatif à la figure 16, en disant que l'on prend l'intégrale

co(r ) dy

le long d'un chemin passant par le point critique b\ en ce point, (o (y) devient alors infinie (comme un logarithme), et, après le passage àe y par 6, on doit augmenter w(jk) ^^' ^(.'')-

En combinant les résultats précédents, nous voyons que l'intégrale double prise le long du cycle S peut s'obtenir de la manière suivante : Soit w(,x) ""^ période convenable de l'intégrale

Q(a;, jK, -; dx

on formera l'intéarale

^{y)dy