PÉRIODES I)KS INTÉGRALES DOUBLES

dans le plan de la variable eoinplexo y le lonj^ d un chemin 1) pouvant passer par les points singuliers désignés d'une manière générale par 6. Quand D traverse le point singulier^/, on doit augmenter i-o(y) de

'j-i étant un entier positif ou négatif, et ^i{y ) ayant la signification du n" 2. De plus, en revenant au point de dépari O sur le chemin D, on doit retrouver la détermination initiale de iii[y), puisqu'on revient à la même courbe C sur la surface S. La valeur de l'intégrale est alors facile à calculer. Figurons le chemin D avec les trois points ^,, b.j. b-i { fig. 22) pour fixer les idées et le point

Fi g. 22.

de départ O. Soit, ei: outre, a un point quelconque dans le plan;

traçons

abi. ab-i. cib^,

que Ion va regarder comme des lignes doubles. Au lieu de prendre l'intégrale

sur le contour D, on peut la prendre sur le contour

Ohxabxbyab^b.^abzO ^

en supposant que, aux points correspondants de abi et de 6/a, la différence des valeurs de 10(7) est a/Q/Q-), le saut brusque ayant

alors lieu en a. D'ailleurs, comme ou doit retrouver la même valeur en o, il faut manifestement que l'on ait l'identité

Enfin la valeur de l'intégrale sera

^v-i f ^'*-i{y)df.

Par suite, toutes les périodesde notre intégrale double peuvent être obtenues au moyen des combinaisons envisagées au n^ 3. Le résultat énoncé au commencement du n " 4 est donc établi.

7. Dans la forme analytique que nous avons donnée aux périodes de l'intégrale double figurent les fonctions ^(y) relatives à cliaque point singulier.

On pourrait, sans parler de ces périodes particulières de l'intégrale abélienne

0(.r, y, z } dr

donner encore la forme suivante aux périodes de l'intégrale double. Soit toujours a un point arbitrairement choisi; considérons une intégrale w/(^>'') de l'équation différentielle linéaire E relative aux périodes de (8), et supposons que j' partant de a y revienne après avoir décrit un chemin C/ autour de bi et avec la détermination o>|(j>^); on fait ainsi pour un certain nombre de points singuliers 6. Supposons enfin que l'on ait l'identité

Alors l'expression

est une période de l'intégrale double. Il est clair, d'après l'identité (9), que l'expression (10) ne dépend pas de a.

Dans tous les numéros précédents, nous avons supposé, comme il était permis, que la surface algébrique / avait une position