PÉRIODKS DES INTÉGRALES DOUBLES. S^O

(juolcouque par rapport aux axes de coordonnées; dans ces conditions, ]es points singuliers h de l'équation difTérenlielle linéaire E, qui a joué un rôle capital dans toutes nos recherches, possèdent des pro|)riétés d'une remarquable siniplicit(' qui nous ont été très utiles. Enonçons seulement pour le moment une remarque importante pour le cas, peu intéressant au point de vue théorique général, mais qui peut se renconirer dans des applications particulières, où les axes de coordonnées auraient une [)Osition particulière par rapport à la surface. Les points singuliers de l'équation (E) peuvent être alors de nature plus compliquée, mais les expressions (lo), sous la condition (g), sont encore évidemment des périodes de l'intégrale double, routefois, et c'est là le point (jue nous venons signaler, tous les cycles à deux dimensions de la surface algébrique ne pourront pas toujours être engendrés de cette manière, en ramenant à un seul plan i' = a, contrairement au théorème que nous venons de démontrer plus haut, dans la démonstration ducjuel la nature simple des points singuliers h a joué un rôle. Nous le montrerons sur un exemple dans la section suivante.

8. Revenons aux périodes précédemment trouvées avec la condition

Elles se ramènent immédiatement à un nombre limité d'entre elles. Tout d'abord, parmi les Q/(j/), il y en aura, en générai, ip qui sont linéairement indépendants. Ceci arrivera en particulier si l'équation E est irréductible (ce qui est le cas général). Supposons, en effel, que, parmi lesO,( i), il yen ait moins de ip linéairement indépendants, soient

1>1, iU, ll.s- U<ip)

et supposons tracées toujours dans le pian de la variable y les coupures allant de a aux points singuliers b (comme au n'^ !2). Considérons l'intégrale û, ( }'), elle n'aura en a que .v déterminations linéairement indépendantes, |uiisque la circulation autour

d'un lacet correspondant à 6/ augmente simplement, d'une manière générale, (.o( )) d'un multiple de Q/( r), et que, parmi ceux-ci, il n'j en a que s linéairement indépendantes. L'équation E aurait donc une intégrale qui n'aurait dans tout le plan que s déterminations linéairement indépendantes; elle serait donc réductible, contre l'hypothèse faite. Dans les généralités qui vont suivre, il sera supposé qu'il y a 2p fonctions Q linéairement indépendantes.

Soient alors, pour fixer les idées,

les Q correspondant respectivement aux points critiques

linéairement indépendants. Si h est supérieur à 2/>, on a nécessairement une identité

m'i Û, H- ... -H m'i,, i>2/, + m,^ il,^ = o ( m,, 3^ o ).

Envisageons alors les expressions kh= in'l / i>,(jK)rfr+..--l- 'w^p / ilip{y)dy^ m,, \ i}.i,(y)dy

qui sont des périodes. Or, si P est une période de l'intégrale double, on a

P = V iJt/ / <li{y)dy avec ^ V-i-dY) = " h

on pourra manifestement trouver une relation entre les P et les A, par l'élimination des quantités

C ilH(y)dy (A = 9./? -4- I, ..., N),

ce qui conduit à une relation de la forme

XP-H 2 Xa.V/,-4-2 2v /" Ov(jK.«y = 0, A z= 2/) + 1 V = 1