PÉRIODES DES INTÉ(;UALES DOUBLES

A, les l~h eL les ôv étant des entiers, et A étant difTérent de zéro. Puisque P et les A ne dépendent pas de a, il en sera de même de

ce qui entraîne la relation

2 0, j il,{y)dy,

Mais les Q.y[y) (pour v = i ,•-<,,... , 2/>) sont linéairement indépendants par hjpothèse; [)ar suite, on aura

Ôv= O ( V = I, 2, . . . , 2/)).

11 résulte delà que, entre Pet les A, d y a une relation homogène et linéaire à coelïîcients entiers. Donc, nous sommes déjà assurés que le nombre des périodes est au plus égal au nombre des quantités A, c'est-à-dire N ■ — 2/9.

9. Nous pouvons aller plus loin. 11 existe des relations homogènes et linéaires à coefficients entiers entre les A, d'où résulte une diminution du nombre des périodes. Puisque l'intégrale double dont nous sommes partis est de première es|)èce, toutes les solutions de l'équation E, désignées d'une manière générale par co(j^), ont leurs résidus nuls poui' le point à l'infini. Soit alors (o( y) une solution arbitraire de l'équation E; en prenant

w ( jK ) dy

le long de l'ensemble des lacets b^, 60, . .., by, on obtiendra le même résultat que pour un contour autour du point à l'infini, c'est-à-dire zéro. La valeur de l'inléi;rale lu'écédente est manifestement de la forme

' '-h(y)(fj-+-...^ixy ilTi{y)dy.

En l'égalant à zéro, on obtient une relation homogène et linéaire à coefficients entiers entre les A. En prenant pour w(jk) succès-

sivemenLi/) solutions indépendantes to,. coj, .... io.2p de E, on obtient 2/> relations de cette nature.

La valeur de l'intégrale

autour du point oc, exprimée en fonction des A, prend la forme

les V étant des nombres rationnels. On obtiendra donc les ip relations

Une question imporlante se pose immédiatement : ces q,/) relations H sont-elles distinctes, c'est-à-dire peut-on en tirer 2.p des A en fonction des N — ip autres? JNous allons démontrer que la réponse est affirmative, en raisonnant comme à la page SaS.

Considérons, à cet effet, une intég^rale arbitraire de seconde

P( .r, y,^) dx

(P polynôme en x, y et z s'annulant sur la courbe double) de la courbe entre x el z représentée par l'équation

Les périodes de cette intégrale sont des fonctions dejv"» satisfaisant à une équation linéaire du type E. Les ip déterminations w,, (O2, . . . , isi-ip linéairement indépendantes sont unilbrmes à l'infini, et l'on a par exemple les développements

ov. = a%r' - ari j«-i +. . .- ^ ^. . .+ ^ ^. . .

autour de j'' ^ ce. Comme nous l'avons vu, les 1 p résidas de l'intégrale double

r rVix. Y, z)dx dy

relatifs à la courbe à l'infini de la surface, sont les valeurs de l'in-