PÉRIODES DES INTÉGRALF.S DOL'BLES

légrale

aiiloiir du point à l'infini; ils onl flonc pour valeur

Nous avons vu (p. 828) que, en nous plaçant dans un cas très général, on pourra certainement déterminer un polynôme

?f r ) = «I >-''-' ^ «2 J"'—- -f- . . . -!- a/,, tel que les 2/) résidus de l'intégrale douJ)le

'f{j)P(.r, y, z)dxdy f'z

aient des valeurs arbitrairement choisies.

Ses ip résidus par rapport à la courbe à l'infini de la surface algébrique seront donc linéairement indépendants au point de vue arithmétique.

Désignons alors jtar

Q' ( .r, K, - ) dr dy

fQ' polynôme en x, j% z, s'annulant sur la courbe double), une intégrale double jouissant de la propriété ci-dessus. Elle va nous servir à démontrer que les 2/» relations S sont distinctes.

10. Les équations différentielles linéaires E et E' relatives au\ périodes de l'intégrale abélienne (8)

et de l'intéffrale

ont même groupe.

Désignons par

Qi.r.

z ) dx

QH-r

les expressions formées avec l'intégrale (1 2) de la même manière que

35o r.HAPITBE XI.

les A des n"' 7 el 8 avec l'inlégrale (2). Les ip résidus de ,(12), relatifs à la courbe à l'infini, seront égaux à

(i3) Ap+xKp^i-^---^A^y {11 = 1,0., ....-ip),

les nombres rationnels v étant les mêmes qu'au n° 9, puisque les groupes des équations dififérentielles linéaires E et E' sont les mêmes; désignons par Tt^^ l'expression (i3).

Nous allons voir de suite que les ip relations S du n° 9 sont distinctes. Si, en effet, celles-ci ne pouvaient être résolues par rapport à 1 p des A, on pourrait trouver des entiers kh (non tous nuls) tels que l'on ait

identiquement, c'est-à-dire quelles que soient les lettres A. Il en résulte que l'on aurait

\k/iTZh= O,

ce qui est contre l'hypothèse que les tz/i ne sont liés par aucune relation homogène et linéaire à coefficients entiers.

La réponse à la question posée au numéro précédent est donc bien affirmative. Par suite, le nombre des périodes de notre intégrale double de première espèce est au plus

puisque, entre les ]N — ip périodes A, il existe ip relations distinctes homogènes et linéaires à coefficients entiers.

La question qui se poserait maintenant serait la recherche du nombre des périodes, distinctes de l'intégrale double la plus générale de première espèce d'une surface donnée. Mais c'est une question que nous n'aborderons j)as en ce moment et c'est dans une tout autre direction que nous allons nous engager.

Nous allons voir dans les sections suivantes que c'est la combinaison

qui est véritablement intéressante, et nous trouverons une rela-

PÉRIODES DES l.MÉGUALES DOLBLI.S. 35 1

lion remarquable entre les deux nombres c^ cl o el la combinaison précédente.

II. — Généralisation des résultats précédents; sur certains cycles à deux dimensions de la surface, situés à distance finie.

11. ÎNous sunimes, dans la section précédente, partis d'une mlégi'ale double de première espèce. Que deviennent les considérations, dont nous avons fait usage, quand, au lieu d'une intégrale de première espèce, on considère une intégrale double quelconque de la forme

Pi'.r. )'. ; , <I.T ri Y

P(x, y, :;) étant un pohnome quelconque s'annulant sur la courbe double. Les périodes de l'intégrale abélienne

P( .r. K, ^ » dr

' Tz

relative à la courbe /(j'. j', c)=^o entre x et c sont alor» des fonctions de y. Ces périodes sont au nombre de

^ xp -:- m — I

et satisfont à une équation linéaire E'. l^armi ces périodes, m — i

correspondent aux points à l'infini et sont des polynômes en y {voir

page 2 i 7 de ce Volume). Ainsi, l'équation E' d'ordre -ip -*- m — i

admet comme solutions ni — i polynômes 7:0, —3, ..., r:„i, qui

n'existaient pas tout à l'heure pour l'équation E.

En chacun des points singuliers existe toujours une intégrale il

avec les mêmes propriétés, et si entre 0,, î.lj. . . . , ils il existe une

relation

/«il>i -t-. . .— in^il^ = u (les m entiers),

l'expression

' l»i dy -)- /«2 / ---2 dy -T- . . .^ m^ / 12^- dy

ne dépendra ])as de a. il pourrait arriver que la portion P'^ de la

.surface de Rieaiann correspondant à /(x, «, ;;) =: o [voir n" 3),

limitée par les bords

nii V'{, . . ., ftisV'l,

contînt un ou plusieurs points à l'infini; dans ce cas, l'intégrale donble n'aurait pas de sens à cause des points à 1 infini, mais l'expression précédente n'en aurait pas moins un sens.

Faisons maintenant l'hypothèse, correspondant au cas général ('), que pour une intégrale a/bit/aire de la forme indiquée il y ait ip-r-ni — i fonctions 0(jk) linéairement indépendantes, soient

correspondant respectivement aux points singuliers b de même indice; elles formeront un système fondamental de l'équation différentielle linéaire E'. Envisageons une autre lettre 0, soit ils-, où s est supérieur à '2p -\- m — i . On aura la relation identiaue

(l4j /nii>i -r-. . .-1- //l2,,^m-l*-i2/j+m-l -r- m^ils = O,

et l'expression correspondante, indépendante de a, (ij) //il / ili^jjdy -^...— m, / iï,{j)dy.

11 est facile de voir que les contours

limitent, sur la surface de Riemann f(^x,y, z) = o, une portion de surface ne comprenant pas de points à l'infini, et, par suite, l'expression (là) est une période correspondant à un cycle à distance finie. Pour le démontrer, rappelons que, sur une surface de Riemann à m feuillets, on peut tracer ip -r- m — i contours à regarder comme distincts, si dans la déformation ces contours doivent nécessairement rester à distance finie, et que tout autre contour peut se ramener à une somme de ceux-là, les déformations se faisant toujours sans passer par l'infini.

(') Dans tout ce qui va suivre celle condilion sera supposée satisfaite. Nous la discuterons dans la Section IV de ce Chapitre.

PÉRIODES DES inté(;r.u,i;s dolbles. 353

Les contours

répondent hien à ces conditions |)uis(|.ie les ,p^,n~i fonctions

sont linéairement indépendantes. Ensuite, tout antre contour F, (ou un de ses multiples) peut se ramènera une combinaison des V précédents, sans passer par l'infini. Donc nous aurons sur la surface de Riemann une portion [\ n'ayant pas de points à l'infini et limitée par

cette portion [> adjointe aux ip -h ,n surfaces ouvertes, que nous avons fait correspondre aux contours précédents, nous donnera le c^cie fermé à deux dimensions, tout entier à distance finie, qui donne la période (i 5), comme nous voulluns l'établir. " Nous obtenons donc de cette n).inière

-\ — ip — I m ~ \)

périodes pour notre intégrale double.

La théorie développée plus haut (n%S)aici son analogue. Toute période P de l'intégrale double correspondant à un cjcie, situé à Alistance finie, est encore de la forme

y V-ic I il/A y ) dy avec l'identité

A chaque valeur s plus grande que 2/> + //«, correspond, d'après ce qui précède, une période P„ et il y a entre P et les P, une relation homogène et linéaire à coefficients entiers.