Nous avons considéré l'intégrale doubl

(i6j /• /^P(x-, /, z)dxdy

OÙ p est un polynôme quelconque s'annulant sur la courbe doubh

Nous nous rapproclierons des résullals obtenus dans la section précédente, si nous supposons que liatégrale abélienne

ï'(.r, j. z) fz

relative à la courbe ,/(^', ^t, -^) = o entre x et z. est de seconde

espèce. Léquation E' est alors seulement d'ordre 2/j, et nous

avons de nouveau

expressions correspondant à 2/> + i lonctions il. A la vérité, elles ne peuvent être toutes considérées comme des périodes, à cause des points à l'infini du cycle correspondant, à moins que l'on ne veuille élargir le sens du mol période.

Il résulte de ce que nous avons dit au numéro précédent que, pour tn — 1 des IN — 2/> expressions trouvées, le cycle correspondant s'étend à l'infini, de telle sorte que l'on ne peut pas dire en général que l'intégrale double prise sur ce cycle ait un sens.

Un cas particulier n'est pas sans intérêt.

Supposons que l'intégrale abélienne (17) soit de première espèce. Alors il n'y a plus aucune difficulté relative aux points à l'infini, et les i^ — 2/> cvcles à deux dimensions conduisent à une intégrale double ayant un sens déterminé. Parmi les IN — 2/> valeurs de ces intégrales, il y en a 2/> qui sont les résidus de l'intégrale double par rapport à la courbe à l'infini de la surface. Nous avons i-appelé à ce sujet (n"9) les résultats de la page 2 i j, d'après lesquels ces résidus sont les valeurs de l'intégrale

autour du point ce.

13. Revenons au cas général du n" 11. Les N — -a. p — {m — i) périodes, que nous avons trouvées, sont-elles distinctes?

Nous allons démontrer que ces périodes sont distinctes, c'està-dire ne sont liées par aucune relation bomogène et linéaire à coefficients entiers, si Vintégiale double

(18 j JJ ■'''j!,"'^ dxdj

PÉRIODES DES INTÉr.R.ir.ES DOIBLES. 355

eut iirhilraire (l^ élant toujours un polvnonie s'anniilanl sur la courbe double). Tout d'abord, dans une telle intégrale double, on peut, comme on l'a vu (p. 327), supposer le degré du [)oljnome V limité, puisque par la soustraction d'une expression de la forme

U et V élant des polynômes en x, z à coefficients rationnels en y (s'annulant sur la courbe double), on peut limiter le degré de P, et que dans la nouvelle intégrale les périodes seront les mêmes (pour ce point voir la section suivante de ce Chapitre). Soit alors l'intégrale double (18), ainsi réduite, renfermant s paramètres essentiellement distincts a,, 7-2, ..., y.s, c'est-à-dire telle que, quand les a ne sont pas tous nuls, elle ne se réduit pas à la forme (19). Admettons maintenant que les périodes trouvées de (18) soient liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers. U est presque évident que ces coefficients entiers ne varieront pas avec les paramètres a qui sont susceptibles de variation continue. Pour le voir bien nettement, désignons par

Pî, Pf, ..., P'^ [.^=N a/j-(m-n|

les périodes de (^i8) quand on fait 'J.i=^\ et y.j = . . .= 7.^.=: o, et ^'une manière générale par

les périodes quand y.i^ i, les autres a étant nuls.

Les P^-, P^-, . . ., P^, pour une valeur fixe de /, ne seront pas nulles à la fois, car alors l'intégrale correspondante à y.i=^ 1, les autres y. étant nuls, n'aurait pas de périodes et serait par suite réductible à la ("orme (nj), comme il sera démontré dans la section suivante.

Si les périodes de [iS) ne sont pas distinctes, on aura, par hypothèse, quelles (|ue soient les constantes arbitraires a,

M,(a,Pj-^a2pl-^...^a,l'i)^...-^Mj,(^it', + ^2^'ï-^---^='^'T; = o,

les M élant des entiers qui ne sont pas tous nuls. Les P sont des nombres (ixes; les entiers xM pourraient-ils dépendre des variables continues y.! Donnons à y. des valeurs déterminées, mais arbi-

Irairemenl choisies. On a l'égalilé cl-dessiis. Il faudra nécessaireinenl que tous les coefficients des a soient nuls, c'est-à-dire que

M,Pl^Alol';^...-T-Mjj.Pfr= O (J=I,-'.: ...., S).

En effet, dans le cas contraire, on pourrait exprimer un des a à l'aide des autres et des quantités P; or, ceci est impossible, car on peut certainement trouver s nombres irrationnels a^ tels qu'aucun d'eux ne soit susceptible de s'exprimer rationnellement à l'aide des autres et de nombres déterminés P (en nombre fini). Do là résulte que la relation supposée entre les périodes de (18) est toujours la même, quelle que soit cette intégrale double.

Envisageons alors une intégrale déterminée, d'ailleurs prise arbitrairement, du tjpe (iH). En conservant aux il la même signification que dans tous les numéros précédents, une relation entre ces périodes se traduirait par une égalité de la forme

les m étant des entiers qui ne sont pas tous nuls (').

Supposons alors quau lieu de l'intégrale (18), nous partions de l'intégrale

'i ( y ) V ( x^ y. z ) dx dy

œ( r) étant un poljnome en y. D'après ce qui précède, nous aurons, quel que soit ce polvnome, la relation

avec les mêmes entiers ?n que dans la relation (20).

Ainsi, en changeant seulement un peu les notations, on aurait

{Ji,^- 23j des fonctions déterminées B,(tj, ..., B^!.)'), holo-

(') Il Cal essentiel de leuiarquer qu'aucun des il^iy) n'est identiquement nul, comme on le reconnaît en calculant Î2,(6) qui est diltérent certainement de zéro, si, comme on peut le supposer, le polynôme P{x,y, z) ne s'annule pas aux points de la surface/ où le plan tangent est parallèle au plan des zx.