PÉRIODES DES INTÉGRALES DOLIILES
morphes respectivement de a en />,, de a en />o, .... de rt en b^ (dont la somme est d'ailleurs identiquement nulle et (|ui ne sont pas toutes nidles), avec la relation,
/ ?(7)Bi(7)(/k-^...^- / çij-jB.xij')^?»- = o,
l'ii
qui aurait lieu, quel que suit le polynôme '^( r). Il est aisé de voir que cela est impossible. Ceci entraînerait en effet les relations en nombre infini
I j'"iii(y)dy-\-...-i- r"'Hs{j}dy = o
Or, envisageons la somme
où X est une variable arbitraire, correspondant à un point non situé sur les courbes d'intégration ab^ , ■ • • , <-'l>><- l' est certain que la somme précédente représente une fonction de x. qui n'est pas identiquement nulle. En effet, d'après une théorie élémentaire, la fonction de x
dy
«prouve I accroissement
■2-iB/, (J7)
<|uand le point x va d'un bord à l'autre de la coupure bkU.
358 CHAPITRE \r.
Ceci posé, pour x tirs grand, on peut développer l'expression (22) suivant les puissances croissantes de -> et les coefficients
des différentes puissances de - sont précisément les premiers
membres des relations (K). L'expression (25) serait donc identiquement nulle, ce qui est contradictoire. Le théorème est donc démontré.
1 i. Parjui les N — ip — [m — 1) périodes distinctes que nous venons de trouver, il y en a 2/> qui sont les résidus de l'intégrale double relatifs à la ligne à l'infini de la surface; ces résidus correspondent à l'intégrale
prise autour du point ce, en prenant pour oj( j'), ip intégrales de l'équation E' formant un système fondamental avec les m — i polynômes désignés par — au n" 11. Si l'intégrale double est arbitraire, ces 2p résidus sont certainement distincts ; on le démontre eu raisonnant comme au n° 9.
Nous concluons de là, qu'e/i ne comptant pas les périodes correspondant aux résidus relatifs à la courbe à l' injini de la surface, nous uions
périodes distinctes correspondant à des cycles à distance finie. En particulier, envisageons une intégrale double générale de seconde espèce, du type des intégrales précédentes,
ir dv
comme cette intégrale, étant de seconde espèce, n'a pas de résidus. le nombre de ses périodes correspondant à des cycles à distance finie est égal à
