PÉRIODES DES INTÉGHALES DOUBLES
sont des points singuliers de l'cqnalion diflTérentielle E' jouissant, des propriétés très simples sur lesquelles nous nous sommes appuyés. Nous avons déjà énoncé au n" 7 la remarque, que les choses seraient moins simples si la surface avait une posilioti particulière par rapport aux axes.
Vérifions-le sur la surface
qui nous donnera d ailleurs l'occasion d'exemples d'une autre nature particulièrement instructifs ('). Envisageons la courbe entre x et z représentée par l'équation précédente. Nous avons, pour cette courbe, deux cycles F, et Fo ; en faisant décrire ky dans son plan un chemin fermé convenable, nous ramenons F) et F^ à leurs positions initiales, et ainsi se trouvent engendrés deux cycles à deux dimensions pour i] situés à distance finie. Les points critiques relatifs à y sont ici les trois racines de
mais ces points singuliers ne sont pas de la nature de ceux que nous avons rencontrés dans le cas général. On ne trouve ici que deux cycles à deux dimensions. D'ailleurs ces cycles existent bien elfectivement, je veux dire ne se ramènent pas à zéro. Envisageons eu effet l'intégrale double
.r dx il Y
«pion vérifie aisément être de seconde espèce, ce (jue nous allons retrouver d'ailleurs plus bas. Calculons sa valeur le long tlu cycle précédent. Posons à cet ellet
j; = "v/i— j--'. /, d où se dt'duit
L'intégrale double devient alors
( ' ) E. PicAitb, Sur les périodes d'une intégrale double de //action rationnelle {Annales de l'École i\'ormale supérieure, 1903).
Sous celle forme, les péi'iodes sont calculées de suile. En effet, désignons par oj el oyt des périodes de l'intégrale simple
/ V^—y'^-dy,
el par Q el lis les périodes de l'intégrale simple
t dt
Nous aurons pour périodes de l'intégrale double correspondant aiiN. deux cvcles à deux, dimensions indiqués plus liaul
mil et LoLlt
[t = racine cubique imaginaire de l'unité); ces expressions étant différentes de zéro, les deux cycles existent effectivement.
En |)erinutanl a; et y on a deux autres cycles à deux dimensions, et 1 on peut montrer qu'ils ne se ramènent pas aux deux premiers. En effel, l'intégrale double
' y dx dy
ir
prise le long de l'un ou l'autre des deux premiers cycles est nulle, puisque l'intégrale double exprimée à laide de r et t devient ici :
JJ
qui est nulle le long des cycles à deux dimensions de la première catégorie. Au contraire, en considérant l'intégrale double
'y dx dy
le long des cvcles de la seconde catégorie, on aura des valeurs différentes de zéro, l^ar suite, tous les cvcles à deux dimensions ne peuvent être formés en faisant la réduction avec un plan j^ = a, comme nous voulions le montrer. Mais ceci n'est pas en opposition avec le théorème général démontré au n*» 6, car les plans
y = const.
occupent une position spéciale par rapport à la surface.
