PÉRIODES DI'S INTÉGRALES DOUBLES

I(). Il sera intéressanl do faire, siii- la surface

une véiilicaliuii du lliéorèine général du n" 14 sur le nombre des ])ériodes d'une intégrale double générale de seconde i'spèce correspondant à des cycles à distance finie.

l^our une surface générale du troisième degré, on a

lexpression

sera ici égale à (J. Nous devons doue [)ouvoir trouver.s^o; périodes distinctes pour une intégrale double arbitraire de seconde espèce de la surface (S). Or, envisageons l'intégrale double

(■2J) / / — dxdv,

A, li, C étant trois constantes arbitraires.

Nous montrerons d'abord que cette intégrale est de seconde espèce. Prenons par exemple,

L identité

II— t/.' </> ( qui corre.->|»uiul à A = C == o).

rend manifeste que l'intégrale est de seconde espèce. Les deux autres intégrales se déduisant de celle que nous venons d'examiner j)ar des permutations de lettres, il n'est pas douteux que l'intégrale (23) est de seconde espèce. La possil)ilité de cette permutation est évidente pour

Pour la troisième intégrale

ff

xy

Ix dy

il siilfit (le rcmarfuier que l'élément

peut se remplacer par

(Ix <ly

dv dz

el nous avons par suite l'intégrale

-^,dydz.

qui est de même type que les précédentes.

Calculons maintenant les périodes de (aS). La première catégorie de cycles à deux dimensions, dont nous avons parlé au n° lo, donne les périodes

(24) <:wL>, Cwt>î,

les intégrales doubles ajant pour coefficients A et B, donnant des périodes correspondantes égales à zéro.

Les c\cles de la seconde catégorie (pour lesquels la réduction est faite avec un plan ^ = «) donneront, dans les mêmes conditions, les périodes

(•25) BwL>, Bt..L>î.

Enlin, on pourra encore former deux autres cycles, en faisant la réduction avec un plan ; = «, et cela toujours de la même manière. Ils donneront les périodes

(:ifi) A(ot>, AojOe.

Par suite, nous avons jornu', pour i intégrale double de seconde espèce (^3), six périodes distinctes correspondant à des cycles à deux dimensions situés à distance finie, représentées par les expressions (^4)> (^o), ('-i^).

l'ÉRIOUKS DliS IMÉGKALKS DOUBLES. 3G3

III. — Comparaison entre le nombre des périodes des intégrales doubles de seconde espèce et le nombre p„ des intégrales doubles distinctes de seconde espèce; relation fondamentale entre ces deux nombres.

17. Nous allons levenir inainleiiaul au problème doul, nous nous sommes occupés au Chapitre précédent : reconnaître, étant donnée une expression

(^Q s'annulant sur la courbe double), si elle est susceptible de se mettre sous la lorme

(Jx o y

Comme nous l'avons signalé au Chapitre précédent, le nombre p joue un rôle important dans ce problème.

Le cas Le plus simple est celui de p = i, dont nous nous occuperons tout d'abord, en nous reportant particulièrement pour les notations au n" 10 du Chapitre précédent. Nous avons, si le problème est possible, l'identité

fi ~ <^-r

iJy

où B, est de la l'orme

Bi = «i 11 H-.

les a et c étant rationnels en y. Les 1 et les J sont déterminés, comme il a été expliqué aux n'" 10 et 12 du Chapitre précédent. On a

''-fl'

les O et ^ étant des polynômes en a; et ^ à coefficients rationnels en y. Quant à A,, c'est une fonction rationnelle x, y, z, dont il est inutile de donner la forme.

304 CHAPITRi: XI.

Posons, pour abréger,

Q' étant im polynôme en j?ct :; à coefficients rationnels en j^.

18. Pour une valeur fixe, arbitraire d'ailleurs de y, intégrons les deux membres de l'identité (27) le long d'un cycle relatif à la courbe y (x, jK, :;) = o entre .c et ;. Nous aurons d'une manière générale

0) et (jj' étant les périodes correspondante.-? des deux intégrales abéliennes

La variable y partant de </, tournant autour d'un point Z^/ et revenant à son point de départ, nous déduisons de suite par intégration de l'identité (28)

(■2ij) f ili{y)dy^il\{a\

eu prenant pour w(y) nwe période augmentant de fi/( >\) par une rotation de y autour de bi (nous nous servons des notations du commencement de ce Chapitre). Quant à tlj {^y ) il a la même signification par rapport a l'intégrale

r Q'dj-

(jue iit{v) par rapport à l'intégrale

Les égalités (29) relatives aux divers points singuliers b vont

nous permettre de faire une remar(jue importante. D'après la

première section de ce Chapitre, les périodes étudiées de l'iuté-

;rale double

Q{x, K; -s) dx dy

l'ÉltlODES DES lATÉGIlALKS OOL'IîLES.

sont de la forine

Les équations cllfFéreiitielles linéaires r(;latives au\ deux. iiiLé- «^a-ales (oo) et (3ij ont Vt même groupe. Si, entre certains i\\ , on a l'identité

on aura nécessairement l'identité

Or on a

Par conséquent, Loutes les périodes (' j «i/c^ r intégrale double sont nulles. Ainsi, l'identité {'-i']) entraîne la conséquence que loutes les périodes de I intégrale double

sont nulles. 11 s'agit d'ailleurs, on ne doit pas l'oublier, de surface pour laquelle io = i .

19. Nous démontrerons maintenant la réciproque du tbéorème précédent :

Si loutes les périodes sont nulles pour C intégrale double qui précède, on peut mettre —, sous la forme

ôx Oy

Nous allons d'abord chercher si, les périodes étant supposées

(') Quand nous parlons de péiiodes, nous parlons toujours des périodes étudiées plus haut, relatives à des cycles tout entiers à distance finie, et qui sont en nombre N — ip — {ni — i).

milles, un peul délerniiner les a el les c lalioiinellement eu j', de lelle sorle que

^Ay) «^oiTespondanl à linlégrale

(}' dx

fi OÙ

avec les notations rappelées au n" 17. Désignons d'une manièie

générale par

12^ et r^

les valeurs, analogues à 12,, se rapportant aux intégrales

J â''' " J -jT'

écrivons les ^« relations

qui vont déterminer les up -\- m — i fonctions dejK

cil. •..; <^2/); <^2" •••5 C/n-

Les jN relations (R) se réduiront à 2.p-\-ni — i d'entre elles, puisque toutes les périodes sont supposées nulles; car, en ajoutant plus de 2/> -r m — i des relations précédentes multipliées par des entiers u. tels que S;j./0,Yr) ^ o, on obtiendra zéro identiquement. Supposons, pour fixer les idées, que Ton ait des relations distinctes en faisant i successivement égal à

I , -2, . . ., -ij) -h m — I.

Le déterminant des coefficients des ip-\- m — 1 inconnues a et c dans ces relations ne sera pas identiquement nul, car alors il y aurait une combinaison linéaire des intégrales

Q^ dx r qk dx

PfilUODKS l)i;s IMKGUAI.liS rxJLIM.KS. 867

qui, n'avanl pas de période, serait algébrique, ce qui esl iiicouipalible avec la façon dont on I, été formées ces intégrales.

r.es relations (R) |)erniettent donc de déterminer les a el les c, mais les valeurs ainsi obtenues sont-elles fondions rationnelles de yl II est aisé de voir qu'il en esl bien ainsi; il suffit de montrer que ces fonctions sont imilormes, car aucune singularité essentielle ne se trouve dans les expressions figurant dans lescalcnls qui précèdenl. Or, quand on fait décrire à )' un chemin fermé entourant le point singulier A,, les

()/' yl.

et I intégrale

f' ili{j)dy •'h,

se reproduisent respectivement aux termes additifs |)rès

v.,i>,^ v.at et -^s f ii,(y)dy (V., entier).

' lu

L'ensemble des relations (U) n'a donc pas changé, quand on substitue aux coefficients des a et des c leurs nouvelles valeurs après que r, partant d'un point, y revient après avoir décrit un contour quelconque. Ceci suffit évidemment à établir que les a et les c sont des fonctions uniformes, et, par suite, rationnelles àey. ^Nous avons donc déterminé une fonction rationnelle B, dex, y et ^, en posant

Montrons maintenant que l'on peut déterminer une fonction rationnelle A, de X, j-, ;, telle que

fz <^y O.r ' Il suffit défaire voir que l'intégrale abélienne

.., -, dx,

Jz ày I

regardée comme appartenant à la courbe entre x el c,

P. i;t s.. II.

n'a pas de période. Or c'est précisément ce fait qu'expriment les relations (B.), qui nous ont servi à déterminer les a et c figurant dans B,, ou du moins ce (ait résulte de leur dérivation par rapport à y. Il est donc certain que nous pourrons déterminer rationnellement B( en .r, y et :? satifaisant à la relation précédente, comme nous voulions l'établir.

Il est important de remarquer cjue. dans la démonstration de la réciproque, nous ne nous sommes pas servi de ce que p = i. Quand les périodes sont toutes nulles pour l'inlégrale double

on peut mettre -~. sous la forme indiquée. JNous pouvonc donc énoncer la proposition suivante :

Pour que l'expression ^.puisse se niellre sous la forme

OX âB a.T Oy

il suffit que toutes les périodes de l' intégrale (a) soient nulles. Celte condition suffisante sera, de plus, nécessaire s' il s'agit d'une surface pour laquelle le nombre o égaie l'unité.

!20. Le tliéorème précédent va nous conduire à une proposition très importante relative aux surfaces /?o«/" lesquelles p ^ i.

En écrivant que toutes les périodes de l'intégrale (a) sont nulles,

nous avons

N — ( îp -^ m — i)

égalités à écrire. Ces égalités sont-elles bien distinctes? C'est une question qu'il nous faut examiner tout d'abord. Nous avons rappelé (n" lo) que toutes les intégrales de la forme (a), oîi Q est un polynôme en .r, y et z s'annulant sur la courbe double, se rapmènent par la soustraction d'une intégrale

iRm-rAm"^"^

(U et V étant des polynômes en x et ;; à coefficients rationnels en y) à une expression de la même forme, mais où le degré du

l'ÉKIODES DKS l.NTKlilîALF.S Diuni.KS. 36q

[lolvnome (^> est limité. Soit i|<inc-

P étant un polvnome, s'anmilaiit toujours sur la courbe double, dont Je dejçré soit ainsi limité. Le polynôme P ainsi réduit renferme un certain nombre de [jaraniètres essentiellement distincts ^1" ^--2 y-s [l'oir II 13). La ([uestioii est la suivante :

Les \ — ip — (m — i) périodes de Finlégrale (;3) sont des polynômes linéaires et homogènes en a, , a., v.,; ces j.olvnomes

M>nt-ils algébriquement distincts, c'est-à-dire aucune combinaison linéaire à coefficients constants de ces polvnomes n'est-eile identiquement nulle par rapport aux paramètres y.? Xous allons montrer qu'il en est bien ainsi. Plaçons-nous, en etVel. dans l'hypothèse où

les polynômes en x,, a, y., ne seraient pas distincts. Pour une

intégrale double arbilraire de la forme (ai, les périodes se ramènent iiux périodes dune intégrale (3), puisque Tintégrale soustraite pour faire la réduction na pas de périodes: les périodes de I intégrale (,3 i étant, dans noire hypothèse, liées par une certaine relation linéaire dont les coefficients sont indépendants de a,, y.j, . . . , 7.,., il en sera de même pour les périodes de (a). Nous arrivons donc à la conclusion que les périodes

{in—\-

de 1 intégrale (a), où Q est un pol\nonie uniquement assujetti à passer par la courbe double, sont liées par une relation

(32) /,P,^À,Po-...-^À^,„,„, P,

les A n'étant pas tous nuls et étant indépendants de O. Or. il est aisé de \oir cpie cela est impossible. Nous em|)loierons un raisonnement tout à fait semblable à celui qui nous à réussi au n° 13 pour un but analogne. O ayant d'abord une valeur déterminée, nous envisageons une intégrale double où Q est remplacé par

en désignant par f ( ,/; un polynôme arbitraire. Alors, en raisonnant comme au n" 13, la relation précédente entre les périodes

nous conduit à une relation devant être vérilire, quel (]ue soit le polynôme z, ( y)^

("33) w, / ':.iy)Q.x( y)fly ^... ~ my 1 -^i y ) ils(y) dy = o.

les m étant des constantes (et non pas des entiers, comme au n" 13) qui ne sont pas toutes nulles. Les Q sont des fonctions déterminées, qui corres|)ondent à l'intégrale (a) dont on est parti. Il est essentiel de remarquer que tous les termes du premier membre ne peuvent disparaître, par suite de ce que les m seraient nuls. Soient en effet, pour l'intégrale (a) dont on est parti, les périodes P formées de la façon suivante, en supposant

linéairement indépendants. On pose

f i>,(7)^}- ^. . -^ |.i2/,~/«-i / iîi,,-^„,-x(y }dy

h '^^ II. ■

l'entier 'J-op^m-i+h u'étant certainement [las nul. Si donc, dans Ja relation (Sa), a/, n'est pas nul. on trouvera certainement dans (33) un terme en

/ 9(7) *--i/>+»i-i+/i(y) dy

et, par suite, la constante m.^p^n,^-s^h n'est pas nulle. D'ailleurs, aucun des Q n'est identiquement nul.

La relation (33) devrait être vérifiée, quel que soit le polvnome 'j( r); il n'v a qu'à raisonner, comme au n" 13, pour voir que cela est impossible. Par suite, il est bieu établi que, en écrivant que les N — 2/? — (/?? — i) périodes de l'intégrale

P( j?, 7, z) dx dy

sont nulles, on obtient IS — 2^ — (/;? — i; relations distinctes.

l'KKKiDKS l»i;S IMÈiiKAI.KS l)()l BLKS. 87!

Il i-ésiiUe (le là (|ue l'on a

Si en elTel s était inférieur à N — ip — {m — i), on n'aurait pas iN — •2p — {m — 1) relations distinctes, en écrivant que les périodes de l'intégrale (a) sont nulles. D'autre part, si s était supérieur à N — '2i> — ■ [m — 1), il j aurait au moins une intégrale de la forme (^), où tous les paramètres a ne seraient pas nuls, et ([ui se réduirait à une intégrale du type

dx dy, ce qui est en contradiction avec la définition du nombre s.

21. Proposons-nous de calcider le nombre p,, des intégralei doubles distinctes de seconde espèce. Ces intégrales rentrent dans les intégrales du tjpe (^j), dépendant des s paramètres a. il faut écrire d'abord que les intégrales de ce type sont de seconde espèce ; ceci donnera exactement > p relations, car nous avons vu que, sans des conditions très générales, les >. p résidus d'une intégrale double de la tonne en question par rapport à la courbe à l'infini de la surface ne peuvent être liés par aucune relation. jNous avons donc le nombre

dinlégraies du type (|i), qui sont de seconde espèce. Par suite, s — ip représente le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce. D'où le théorème suivant qui est fondamental dans la théorie :

Soil une surface f poai- iaqueUe p^i- Le nombre Oq des inlégraies doubles distinctes de seconde espèce est donné par I. égalité

Po = N — 4 P — ( '" — I )• ou encore :

Le nombre p„ est égal au nombre des périodes correspondant à des cycles à deux dimensions situés à distance finie de V intégrale double générale de seconde espèce de la forme toujours considérée dans notre analyse

872 CIIAIMTRE XI.

Il est renirirquahle que cet énoncé ait précisément la même forme que dans la théorie des courhes algéliri(|ues, où le nombre des intégrales abéliennes distinctes de seconde espèce est précisément égal au nombre des périodes d'une intégrale de seconde espèce. Mais la généralisation n'(''tait j)as immédiate, et elle est plutôt dans la (orme que dans le fond, les périodes n'ayant pas des deux côtés absolument le même caractère; elle n'est d'ailleurs exacte que quand 0 = 1. il nous reste à examiner le cas où a est différent de l'uni lé.

qu

22. Reportons-nous au n" lo du Clia|)ilre précédent. On y a vu e, à un ensemble de lignes

Co-

correspondant au théorème fondamental de la i)age 24 '> «^'i peut faire correspondre des expressions

Qç

(Q, polynôme en x, y, z s'annulant sur la courbe double), réductibles à une somme de deux dérivées partielles de la forme tant de fois écrite (les fonctions sous ces signes de dérivation devenant infinies pour une ligne C). De plus, toute autre expression

(Q polynôme en -^j J^, z s'annulant sur la courbe double), réductible à une somme de deux dérivées partielles, sera de la forme

M-. Qi

Jz

)-UjO

les u. étant des constantes, U et V des polynômes en x et ;, à

coefficients rationnels enj^, s annulant sur la courbe double.

Ceci rappelé, nous pouvons reprendre avec les modifications

nécessaires l'analyse du numéro précédent. Nous avons toujours le

nombre

des intégrales de seconde espèce du ly[)e (,i>), dont aucune combi-

l'ÉIUODES DES IMÉGRAI.KS nOlBI.KS. SjS

naisoii Imriiiie n est réductible à une intégrale du type envisagé plus luiul

Mais, parmi ces i' — o,p intégrales, figurent des intégrales de la ibrnie

f fu <lxdy,

où l'on a

Qi — . . . — ;j..i <;>o, 0» / U ^ d [ V \

()x \f'J ' Or [fj

11 faut donc retrancher le nombre p — i de s — ip pour avoir le nombre des intégrales doubles dislincles de seconde espèce, ce qui nous conduit de suite à l(i formule

Ofl = \ — '\ p — (m — ^ n — ( p — I I.

On voit que le nombre p intervient dans 1 expression de py. JNous pouvons alors énoncer le ihéorème fondamental suivant qui comprend comme cas particulier le théorème du numéro précédent.

Le noinbre po est égal au nombre des périodes correspondant ^i des cycles à deux dimensions situés à distance Ji nie de r intégrale double générale de seconde espèce de la forme

Q( T. y. z I (Lr dy

(Q polynôme en x^y^ z- s'annulant sur la courbe double), dimin ué de z — i .

Dans la formule qui exprime le théorème précédent, le nombre p^ est un invariant absolu, c'est-à-dire un invariant pour toute transformation birationnelle. Nous avons déjà dit qu'il n'en était pas de même de z.

!23. Nous avons vu (n" 19) que, si toutes les périodes dune in-

téi^rale double

CUx. y. z ) dx dy

074 CHAPiriîE XI.

sonl nulles, on a une idenlilé de la forme

mais cette condition, sutlisante pour l'identité précédente, n'est nécessaire que si p = 1 .

Quand 0 est supérieur à un, une intégrale

où ^ a la forme (34 ), peut avoir des périodes ddïerenles de zéro.

11 est intéressant de voir à quel fait anals tique est due cette circonstance.

On a vu, au n" 15 du Chapitre précédent, qu'à chaque courbe G du théorème fondamental qui conduit à la définition du nombre p (p. s'il), correspond une fonction

-j^ ( Q, |)ol\ nome en a-, y et ^),

telle que

(35) V7 = T- — Tr]^-r\ — 17]'

M/ et Nj étant des polynômes en x et 5, à coefficients rationnels en y. Quant à gi c'est un polynôme en x et j', et la courbe gi = o donne la projection de G/ sur le plan des xy. Les deux (juotients

Nf

et

Si

Si

deviennent seulement infinis à distance finie sur la courbe G, (en dehors de lignes y = const. ).

De plus, il résulte de l'identité (35) la conséquence suivante : pour une valeur donnée de y, l'intégrale

relative à la courbe entre x et z^ f{^, y-, ^) ^ o a, comme points singuliers logarithmiques à distance finie, les points de la courbe G; correspondant à la valeur envisagée de j^; pour tous ces points la

PÉltlODES I)KS IMÉGKALES DOLBLES. SjS

période logarithmique a la même valeur qui esl une constante F indépendante de y. Pour l'établir, il suffît d'intégrer les (Jeux membres de l'identité (3o), multipliés par dx dans le plan de la variable complexe (y ayant la valeur envisagée d'ailleurs arbitraire) le long d'un petit contour entourant un point M. Le premier membre donne zéro et le second nous apprend que la dérivée par rapport à y de la période logarithmique en question est nulle, ce qui justilie bien la remarque énoncée.

Ceci posé, à l'intégrale (3Gj correspondent des fonctions que nous allons appeler Q', jouant par rapport à (36) le même rôle que les Q par rapport à l'intégrale

~ dx .

mais, tandis que pour cette dernière il y avait entre plus de ■t p -\- ni — I fonctions 0 une relation linéaire et honiogène à coeflicients entiers, soit

2] ^ti/(.r) = <>,

la rt^lation correspondante pour Tintégrale (o(ij sera

7 u, 12',- ( K ) — /. r = o (A' entier);

t*ar la constante F est une période de rinti''grale (36j, C[ui n'avait pas son correspondant dans l'intégrale ci-dessus.

Il est alors facile de se rendre compte que certaines périodes de lintégrale double

(37) Jf^'jidxdy

puissent être difïérentes de zéro, en i-eprenant l'analyse du n" 18. Nous avons, comme dans ce numéio,

^ a, j^ i>,( j- I dy = 2] l^i'X-^^^ ) \y^ \^,^^-iLy) = A '

mais, ici, le second membre n'est plus nul nécessairement ; il est égal à — /.F qui peut être ditïérent de zéro. On se rend donc bien compte que toutes les périodes puissent n'être pas nulles dans le cas actuel correspondant à p > i ; de plus, on voit que l'inté-

grale (3-) a une seule période qui esl multiple de la quantité F relative à l'intégrale (36).

24. On pourrait vérifier les conclusions précédentes sur Tintégrale double de seconde espèce

' X dr dy

If-

relative à la surface

xi -j j/i -h ;sS = I .

déjà considérée au n" 14. On a ici l'identité

X à I x'-\ d Y yx* "I z ~ dx\ z j dy \ ( i — x'^ ) z }

L'intégrale double considérée a deux périodes différentes de zéro, quoique le coefficient de dx dy sous le signe d'intégration soit la somme de deux dérivées partielles.

11 en est de même |)our la surface

P(:r) étant un polvnome en x^ et cet exemple a appelé le premier l'attention sur la circonstance qui nous occupe; nous avons formé incidemment (p. 199 de ce Volume) une intégrale double

dx dy,

OÙ U représente un certain polynôme en x et y, qui avait des périodes différentes de zéro, et l'on avait la relation

LJf.r, )•) <) z Ox

ir

-x)z\ ây\

qui définissait d'ailleurs le polynôme U. Il nous suffira d'appeler l'attention du lec:teur sur ces exemples, où Ton vérifiera sans peine les remarques générales que nous venons de faire.

PÉRIODES DKS IMÉliKALKS DOIIJLKS. 877

IV. — Discussion des hypothèses générales faites dans ce Chapitre.

!25. Jl a étt' admis, dans loiit ce (jiii |)récède (voir n" 11), que pour IcTiuation linéaire E' correspondaril ;"i une inl('i;rale arbitraire

Pi ./•. y. z) dx

(le polynôme Ps'annulanl sur la courbe double), on [)Ouvail trouver •ip-\-m — I fonctions Q qui ne soient pas liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers. Celte condition, avonsnous dit, est en général vérifiée. Pour préciser, nous allons montrer qu elle est certainement vérifiée si la surface algébrique n'a pas d'intégrales de diUérenlielles totales de seconde espèce (transcendantes), c'est-à-dire si sa connexion linéaire se réduit à Tiinité.