commençons par prendre une intégrale abélienne

Oi.r. r. Z)rlr

rOi.r. y.

(le polvnome Q s"annulant sur la courbe double") cpii soit une int^rale arbitraire de seconde es[)èce |)our la courbe entre j:: el ;.

Nous avons alors pour >es périodes une équation difléreiilielle linéaire E d'ordre 2/), considérée déjà bien des fois; soit toujours ùi la fonction Q correspondant au point singulier />/.

Supposons que parmi les Ù, il v en ait moins de 2p, soient

entre lesquelles il n'existe |)as de relation homogène et linéaire à coefficients entiers, mais telles que les autres Q sont liées à celle>ci par une telle relation. Aux h cv(des correspondant à 0,. ..., il/,, on peut associer 2/? — h autres cycles, de manière à avoir ]:)Our la surface de Riemann entre j,' el :;,

S'jS CHAPHRK XI.

■;•./? cycles distincts; désignons (;es -ip — h cycles, ou plutôt les intégrales correspondantes par

OJi, '02, . . . , M2p-/i.

Pour les 2/> intégrales distinctes de seconde espèce

(38) flydx. ..., f\.2,,dx,

formons le Tableau des périodes correspondant à ces c\cles, tij il] ...i>f/'

M \ to f . . . m\ ''

'^ii>~h<-'Ai>-i, • ■ • «y 2 /'-/(•

Le déterminant de ce Tableau n'est pas identi(|uement nul, car autrement on pourrait trouver une combinaison linéaire des intégrales (38), qui serait sans période, ce qui est impossible. Ceci posé, formons les équations

ai 04 ^('.94 ^...-^a.piîf/ =0, c/ituj -i-aoWf -+-. . .-\- a-2,,w\'' = G],

les o.p — h lettres C représentant des constantes arbitraires. Ces équations définissent les a comme fonctions de y ; nous allons voir que ce sont des fonctions rationnelles. En effet, les 1^ et les w se reproduisent, par une circulation quelconque de j', à une somme près de multiples des U; ainsi, par exemple, w^ se change en

fof -r- a, lif -h JJLo 94 -f- . . . -H [J./, t>i

les jjL étant des nombres rationnels indépendants de A. Il en résulte que le système des équations en a reste invariable pour une circulation quelconque de y; donc les « sont uniformes en y, et, par

PÉRIODES DKS I.MfiGKALES DOIBLES. 879

suite, rationnels (aucune singularité essentielle ne figurant dans les fonctions envisagées).

Nous concluons de là que les 2/; périodes de Tintégrale ahélicnnc

/ («i II -^ (7o 1-2 -!-. . .-H a-ii, \^i, ) dx,

relative à la courbe entre x et z, f\.r.y. z)^o, ne dé|>endent pas de 1', et, en raisonnant comme nous I avons fait plusieurs fois, on voit que la surface aura des intégrales de différentielles totales de seconde espèce (transcendantes). Nous pouvons donc dire que, si la surface a une connexion linéaire égale à lunitt' (ce qui arrive en général), il y aura certainement ip fonctions; Q fini ne seront pas liées par une relation homogène et linéaire à coefficients entiers.

27. IMaçons-nous dans le cas qui précède. Nous allons démontrer que, pour une intégrale arbitraire du type toujours considéré

il y a ip -h ffi — I fonctions ti cpii ne sont pas liées par une relation homogène et linéaire ci coefficients entiers. ^Tout d'abord il y en aura au moins 2/^, puisque, daprès ce qui précède, il en est ainsi quand l'intégrale abélienne (Sg) est de seconde espèce.

Supposons d'abord qu'il y en ail seulement ip ; nous allons être conduits rapidement à une contradiction. Reprenons à cet efï'et les intégrales des numéros précédents

/ Il d.r, . . ., I l-ip d'-. I Jj de, .... I i,n dx

avec les Qf et V^ correspondants (/= i. 2. . . ., 2/>). Écrivons les équations

(4o) a, L>; — . . . -f- a.p ilV' ^ CoYf ^ . . . ^ c,„ Y'/' = 0 {i= i.-2, ..., 'xp

En v considérant les c comme des constantes arbitraires, ces équations déterminent

3So CHAPITR1-: XI.

le déterminant de ces écfuations du premier degré en a étant certainement différent de zéro. D'ailleurs, d'après un raisonnement analogue à celui du numéro précédent, les a ainsi déterminés seront rationnels en j', puisque le système d'équations ne change pas pour une circulation quelconque de >'.

Les relations (4o)? <5Ù les c sont des constantes, expriment que les 2/> H- //? — 1 périodes de l'intégrale abélienjie

/ (rti!, + . . .-+- «2/^2/^ -H C2J2 -^- ■ •-+- c,„J„j) dx

sont indépendantes de 7. Il j en a a/? qui sont nulles, et les m — i périodes logarithmiques sont les constantes arbitraires Cj, . . ., c,„. On pourra par suite lormer une intégrale de différentielle totale de la surface de nature transcendante et n'ayant aucune ligne logarithmique à distance finie. Or ceci est impossible, et par suite l'hjpothèse faite qu'il y ait seulement ip fonctions J.2 distinctes est inadmissible.

28. Supposons alors (|u'il jait seulement, pour l'intégrale (3y),

fonctions désignées d'une manière générale par Ù, qui ne soient pas liées par une relation linéaire et homogène à coefficients entiers (les égalités étant exclues des inégalités ci-dessus j.

Considérons ip des 0 correspondant à ip cycles distincts de la surface de Riemann entre x et .;, ./(.^•, j', :; ) = o, puis m — ■ i — -z des autres Q linéairement indépendants entre eux et avec les premiers. On aura donc, pour une intégrale (3()) arbitraire,

puis

--2/;-+-l, • • • , "-ir+in l-x-

Envisageons d'autre part les polynômes txo, . . ., Tt,„, correspondant aux points logarithmiques à l'infini. Les

peuvent s'exprimer à l'aide de 0,, . .., Q..,p et ties 7:. Soit ainsi

i>/, ^ Vl i>, -t- . . . -V V.{,, 9..,,, ^ [JL^'TTo -4- . . . + [^/J, T.,n

[h = i/j -\- i, . . . , ip -^ ni — 1 — T ),

PÉRIODES DES IMÉMtALES DOUBLES. 38 I

les A et les octant ralioanels. D'ailleurs, tous les déterminants d'ordre m — i — ~ torniés avec les -j. ne sont pas nuls, car, s'il en était ainsi, on aurait une relaliou linéaire entre

ce qui est contre rhv|JOthèse. On pourra donc, par exemple, des m — 1 — T équations du premier degré en Co. . . . , c,,,,

•J-'l Co -f- . . . -i- [J-'m C„i = O ( /' = 'i/? -^ 1 , .... >.p -+-//* — I - ),

tirer Co, . . ., c„t-^ en fonction de c,„-^,, . . ., c,„. Ceci posé, leprenons les intégrales

/ li<lr. / lr,^,(/.r. I S.2dx, ..., I J,ndx

avec les

il'l et Vf ( f = I . -2, .... ip — m — i — z ).

Ecrivons les ip ^- ni — i »'"quations du premier degré entre les a

et les c

a,il] — . ..-r-a.pOJ^P -r- c.YJ^.. .-^ c,„rf = o

( i = I , . . . , ip -r- /n I ~ ,' ,

(' /u — T^-l -— - f< fn -T — Il

- (^ /Il — ■"/;(;

les A- étant des constantes prises arbitrairement. Si les a et les c satisfont à ces équations, les ip ^ m — i périodes de Tintégrale abélienne

/ («1 II — . . .-H Cliplip — CoJo — . . .-f- C,nhn) d-^

sont indépendantes des y, et il y en a - qui ne sont pas nulles. Le système des équations précédentes peut se remplacer par le système équivalent

\l'iC2-r. . .-+- \i-'n,C,

'in — " m •

382 CHAI'ITKK XI.

Sous cette deinière forme on voit iniiiiéclialemenl, à cause des remarques faites plus haut sur certains déterminants différents de zéro, que les équations peuvent être résolues. On a d'abord les c qui sont des constantes, pnis les a. Or la première forme du système d'équations montre que ce système reste inaltéré pour une circulation quelconque de y. Les a seront par suite des fonctions rationnelles de }'.

Donc, sous l'hypothèse que t nesl pas nul, on forme une intégrale abélienne (4'^) dont les périodes ne dépendent pas de j', et z d'entre elles sont arbitraires. On pourra alors (ormer une intégrale de différentielle totale de la surface (de nature transcendante) n'ayant aucune ligne logarithmique à distance finie, et nous avons la même contradiction qu'à la fin du n" 27. Le théorème énoncé au commencement de ce paragraphe est donc démontré.

Nous parlerons plus tard des cas particuliers où la surface aurait une connexion linéaire supérieure à l'unité, et où certaines hypothèses d'un caractère général faites dans les deux derniers Chapitres ne seraient pas vérifiées.

V. — Remarques sur les périodes d'une intégrale double de fonction rationnelle ( ' ).

29. INous terminerons ce (Chapitre en levenant sur certaines intégrales doubles de seconde espèce relatives à la surface

(S) a?» -l-jK^ -H^^ = I,

dont nous avons déjà parlé aux n"* lo et 16. Il s'agissait de l'intégrale double de seconde espèce

dcc c/y,

où a, [i, Y sont trois constantes arbitraires. Nous avons trouvé les six périodes de cette intégrale correspondant à six cycles à deux dimensions tout entiers à distance finie. Or la surlace S étant unicursale, on peut expiimer x, y et z en fonction rationnelle de deux

(') E. Picard, Sur les périodes d'une intégrale double de fondions rationnelles {Annales de l'École Normale supérieure, igoS ).