PÉRIODES DES INTÉGRALES DOIBLES

paramètres u et f. L'intégrale double devient alors une intégrale double de fonction rationnelle

R( M, v) du (h-,

R étant rationnelle en m, ç. Cette intégrale double étant de seconde

espèce, on a certainement

o\ dB R(u.i>)= — ^—, au Ov

A et B étant ralionnelles en u et v. Tous les résidus de cette intégrale double sont donc nuls. D'autre part, on est porté naturellement à regarder comme étant des périodes de cette intégrale les six périodes de riulégrale relative à la surface S, dont elle est la transformée. C'est une question de mots; mais il ne faut pas faire de confusions avec les dénominations employées plus haut; les six cycles à deux dimensions dans l'espace (^, y, c), qui ont donné les six périodes en question, se transforment dans l'espace («, v) en six cjcles ; mais, ou bien ces cycles ont des points à l'infini, ou bien ils passent par des points pour lesquels R devient infinie ou indéterminée.

Indiquons le résultat du calcul dans le cas de l'intégrale

r dx dy

r r Y dx dv ,

pour laquelle les six cycles donnent seulement, comme nous l'avons vu plus haut, deux périodes.

On peut, pour la surface

exprimer x, y el z en fonctions rationnelles de deux paramètres u et \^ par les formules

ABC "^=D' ^^h' ^^t)' oîi

B = — r î — uz- — u- V-,

G = 1 -^ uiHi^'z -^- ut-), D = I -^ uv{i't- -^ uz),

t étant une racine cubique imaginaire de l'unité.

En snbstiUiant dans l'inlée^rale, on Irouve le résultai très simple

et tous les résuhts de cette intégrale sont nuls.

Les deux cvcles donnant des périodes pour notre intégrale dans l'espace (.r, y^ z) peuvent être définis de la manière suivante. Posons

en faisant décrire à .r et à t dans leurs plans i-espectifs des contours ne se réduisant pss à zéro et ramenant respectivement

<J \ — x'^ et \/ \ — t'^

à leurs valeurs initiales, on engendrera un cycle à deux dimensions P de la surface S. Au cvcle P de l'espace (^,J', z) correspond un continuum Q à deux dimensions de l'espace (w, c^); l'intégrale double (44) pi'ise sur ce continuum est en un sens une période de (44)i puisqu'elle est une période de l'intégrale (43)i mais elle n'a rien de commun avec un résidu, et avec les périodes envisagées plus haut.

La correspondance entre l'espace (.r, y, z) et l'espace (m, v) est établie par les relations écrites plus haut

Il V a certains points de l'espace (m, v) qui sont des points fondamentaux dans la représentation. Tels sont, à distance finie,

ii = I , t^ = I ,

A chacun de ces points de l'espace (^^, v) correspond une courbe de l'espace (jc, y, z); on conçoit que, si une de ces courbes rencontre le cvcle à deux dimensions P, le continuum Q dans (u, v) passera par le point correspondant que nous appellerons A. Or un tel point A appartient au continuum

i'Éiîioi)F,s i)r;s i>Tf:Gii.\LES doi'ijij:s.

pour Ie(|iiel rinlV'-^iaU; (;st en général infiDie, ce qui fait (hk; le conlimmin Qesld'une (oui, autre naliireque ceux que nous avons envisagés dans la théorie des résidus des intégrales doubles. Il n'y a donc aucune conhadiction. On |)eut encore remarquer que, quanfl le cycle P se déforme dans l'espace (.r, y, z), son correspondant Q, qui se déforme aussi, passe néanmoins constamment par le point A. Il v a aussi des points fondamentaux à Tinfini, auxquels s'appliquent des considéralions analogues.

CHAPITIIE XII.

SUR LA FORMULE GÉNÉRALE DONNANT LE NOMBRE DES INTÉGRALES DOUBLES DISTINCTES DE SECONDE ESPÈCE (').

Sur une propriété des surfaces dont la connexion linéaire est supérieure à un.

1. Dans le Chapitre précédenl il a été supposé que l'on avait affaire à une surface, pour laquelle ne se présentaient pas certaines circonstances exceptionnelles. On supposait que la connexion linéaire de la surface était égale à v unité (t. II, p. 3';'j), et, en outre (p. 32-), que l'équation E n'admettait j)as comme solution un polynôme en r. Examinons de plus près ces deux conditions; cette étude va nous conduire d'abord à une propriété intéressante caractéristique des surfaces dont la connexion linéaire dépasse l'unité.

2. Reprenons l'équation différentielle linéaire E, déjà tant de fois considéri'c, à laquelle satisfont les périodes de l'intégrale abélienne arbitraire de seconde espèce

relative à la courbe entre ;r et :;

(') li. Picard, Sur un théorème s:énéral concernant les surfaces algébriques de connexion linéaire supérieure à l'unité ( Comptes rendus. 21 novembre 1904). — Sur la formule générale donnant le nombre des intégrales doubles distinctes de seconde espèce (Comptes rendus, 5 déc. igo'i, et Annales de l'Ecole Aormale supérieure, 190')].

QÇx, y, z) étant un polynôme en x, y, z sannuJant sur la courbe double. Désignons toujours par Q/ la période correspondant au point bi. L'analyse développée (t. II, p. 3'^'-) nous permet, avec un léger complément, de formuler une conclusion générale.

Supposons que, parmi les U/, il j en ait hi^h'^ ip) linéairement indépendants ; je dis que la surface aura alors exactement ip — Ji intégrales de différentielles totales de seconde espèce distinctes.

Le raisonnement du n° 26 (t. IT, p. 8-7) montre d'abord immédiatement que la surface possède certainement ip — h intégrales de différentielles totales de seconde espèce distinctes, les constantes arbitraires étant C,, Cj, ..., C>/j^- Inversement, supposons que la surface possède 2/? — A' intégrales distinctes de seconde espèce, A' étant inférieur ou égal à h. Reprenant les intégrales

1/ dx ( X = I , ■)., . . ,, ip)

de la page 3-8, on peut, évidemment, trouver un cycle pour lequel la période correspondante s'augmente de

quand y tourne autour du point singulier b^. Si donc le coefficient de dx dans une intégrale de différentielle totale est égal à

les a étant des fonctions rationnelles de )•, on aura nécessairement, puisque les périodes de

/ («, Il -^. . .-l- «o/Ja/») f^^ ne dépendent pas de y, les relations

a 1 0;'. -h «2 --;i -+- • • • -i- «2/> îip.'' = 0 ( [Jt. = 1 , 2, . . . , /« )•

Nous a\ uns là h équations entre les «, et il y aura à adjoindre à ces équations (comme à la page 3-8) ip — h autres équations, où ne pourront figurer plus de 2/) — h constantes arbitraires. Nous aurons donc simplement 2/;» — h intégrales distinctes de seconde espèce, et l'on a, par suite, A'= h.

INTÉGRA l.i:S 1)01 I{IJ;S DISTINCTI-S DE SKCO.NDK KSPBCE. 889

Il V a donc un lien très élroil entre le noinjjre des lî/ linéairement indé[)endanls relatifs à i'(''<|iiation E et le noinhre des inté- <;iales distinctes de seconde espèce de la surface : .S'^ k est le nombre (les preiiiiers, le nombre des secondes sera aj) ■ — h.

3. Nous pouvons aller plus loin et donner la forme la plus simple à la condition pour C|ue la surface ail un nombre déterminé d'intégrales de difFérentielles totales de seconde espèce. Le théorème que nous avons en vue est le sui\ant :

La condition nécessaire et siif/isante jtonr (jifune surface ait r intégrales distinctes de différentielles totales de seconde espèce est que l'érjuation E soit vérijiée par r polynômes en y linéairement indépendants.

La démonstration de ce théorème va nécessiter (piehnies remanpies |)rédiminaire6.

i. Reportons-nous à la page 99 du Tome 1, où nous avons déjà considéré léquation différentielle linéaire E, correspondant à une intégrale ( i) arbitraire. Désignons maintenant |)ar

(7 ) w'j := m\ 0J| -r- />}'., OJ.j — . . .-— /il'., /iMop I / = I, >., . . ., )./> )

une substitution t|uelconque du groupe de l'équation E; les m sont des entiers réels. En désignant par

Pi, 1*2, ..., y -2,

les |)ériodes correspondant aux mêmes cycles que les to dune intégrale de difïérentielle totale de seconde espèce (transcendante), nous avons vu (/oc. cit.) f[u elles satisfaisaient aux relations

(2) P, = ni\ Pj -T- mi P.,-^...— mil, P^/, ( t = 1. ■>.. . . . , ip ),

et il y a autant de ces relations (ju il y a de substitutions fondamentales dans le groupe de E. Il a été démontré c|ue, si Ion peut satisfaire à toutes ces relations, /• étant le nombre des lettres Prèstant arbitraires, il v a pour la surface /• intégrales distinctes de seconde espèce (transcendantes).

3go CHAPITUE XII.

Ceci rappelé, cherchons à quelles conditions l'équation E admettra comme solution un polynôme. Celui-ci serait de la forme

les A étant des constantes. Il faut et il suffit que l'expression précédente ne change ])as quand on effectue sur les to toutes les substitutions du groupe de E; car, dans ces conditions, elle esl uniforme et, par suite, rationnelle, puisqu'il n'y a pas de points

singuliers essentiels. D'ailleurs, cette fonction rationnelle se ré-

..1.1 duira à un polynôme, puisque chaque point singulier est seulement de nature logarithmique. On aura donc

-4- ).;(mf Mi-\- mlou-h. . .-^- ml p (.021,) -4- ..., ce qui entraine les équations (3) li=^lin>)-^linif -^-...-\-l2pf)iJi' (1 = 1,-2., ..., 'îp).

Si le théorème énoncé au paragraphe précédent est exact, la possibilité de satisfaire à l'ensemble des équations (a) entraîne la même possibilité pour l'ensemble des équations (3), et le nombre des arbitraires, pour les P et les A, sera le même. Telle est la question algébrique à laquelle nous sommes ramené.

o. Il est manifeste que, si le groui)e de E était (|uelconque, il n'y aurait, au point de vue qui nous occupe, aucune connexion entre les systèmes (2) et (3), mais ce groupe n'est pas quelconque. Il résulte, en effet, de propositions classiques sur les relations entre les périodes de deux intégrales abéliennes, que les co peuvent être choisis de manière que le groupe des substitutions (cr) satisfasse à la condition suivante : Soient

(0|, tOo, 0-);i, . . • , W2/<; •Jl, 'J-i, '-':i< •••) '->2/)

deux séries de variables; toutes les substitutions (7) transformeront en elles-mêmes la forme bilinéaire

F = (-0, 'Ji — OJo'Ji -f- Wj'Jv "n 'J3 -r- • • • + M^p- l'Jip — Mîp'^ip-l

INTÉGHALES DOLBLl-S DISTI.NCTI-S DE SECONDE ESPÈCE. 891

([iiand on ciW'cluv riimiillaïu'iiieut siii- les (o et sur les u la niènie siibstiluliou (lu groupe. Ce ])oiiil inij)urlaal peut se clén)ontrer avec précision de la manière suivante. Considérons pour une valeur particulière l'o *l6 y, sur la surface de Rieniann Pi correspondant à la relation entre .r et :;

le contour de Riemann formé de p rélrosectious ( (l, D ) léunies deux à deux à la manière d une chaîne. C est le contour désigné par K dans le Trailé cV Analyse de M. l^icard (^t. lï, p. \'i.\^ a'^édit.). (Kiaad j' partant de l'o revient en ce |)oint après a\oir décrit un contour quelconque, le contour K sest déformé et est devenu un autre contour K' du même tvpe formé des rétroseclions (C. D') réunies deux à deux en chaîne.

Considérons, sur la surface R, deux intégrales arbitraires de seconde espèce U et ^ aux périodes respectives W(. .... ojo/j et •j,, u^i •••• '^ip'i 1 intégrale classic[ue

prise le long du contour K donne, comme on sait, la combinaison

elle est, d'autre part, égale à la somme des résidus des pùles de

U-7-- Avec le contour K', on obtiendra la <-onibiiiaison dx

(a') O), 'j'., wôj'i -:-. . .-i- (02/,i'j',/, (02//J2/,-i,

qui sera égale à la somme des mêmes résidus, il y a donc égalité entre les deux expressions (a) et {'j')\ d'ailleurs, les co' sont des fonctions linéaires des lo, el les u' sont égales aux mêmes expressions linéaires des u. En écrivant l'égalité de (a) et (a'), on a une identité par rapport aux oj et aux u, car on a pu choisir U et ^' de manière que ces périodes soient arbitraires ; l'égalité est donc une identité, ce cpii revient à dire que la forme (a) est transformée en elle-même. C"est à cette propriété de toute substitution du groupe de E qu'est due, comme nous allons le voir, la dépendance entre les ■systèmes (2) et (3).